UP Board Class 12 Maths: Relation and Functions Important Questions with Detailed Solutions
เคฏเคฆि เคเคช เคเคค्เคคเคฐ เคช्เคฐเคฆेเคถ เคฌोเคฐ्เคก เคชเคฐीเค्เคทा เคी เคคैเคฏाเคฐी เคเคฐ เคฐเคนे เคนैं เคเคฐ เคเค्เคทा 12 เคเคฃिเคค (Mathematics) เคฎें 95+ เค ंเค เคช्เคฐाเคช्เคค เคเคฐเคจा เคाเคนเคคे เคนैं, เคคो เค เคง्เคฏाเคฏ 1 เคธंเคฌंเคง เคเคตं เคซเคฒเคจ (Relations and Functions) เคธเคฌเคธे เคฌुเคจिเคฏाเคฆी เคเคฐ เคธ्เคोเคฐिंเค เค เคง्เคฏाเคฏों เคฎें เคธे เคเค เคนै। เคเคธ เคฒेเค เคฎें เคฌोเคฐ्เคก เคชเคฐीเค्เคทा เคी เคฆृเคท्เคि เคธे เคธเคฐ्เคตाเคงिเค เคชूเคे เคाเคจे เคตाเคฒे เคธเคญी 11 เคฎเคนเคค्เคตเคชूเคฐ्เคฃ เคช्เคฐเคถ्เคจों เคा เคเคฐเคฃเคฌเคฆ्เคง เคเคตं เคตिเคธ्เคคृเคค เคนเคฒ (Step-by-Step Solutions) เคฆिเคฏा เคเคฏा เคนै।
1. เคธंเคฌंเคง เคी เคช्เคฐเคृเคคि เคी เคाँเค (เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ, เคธเคฎเคฎिเคค เคเคตं เคธंเค्เคฐाเคฎเค)
เคช्เคฐเคถ्เคจ 1 (1): เคธเคฎुเค्เคเคฏ $A = \{1, 2, 3, \dots, 14\}$ เคฎें เคธंเคฌंเคง $R = \{(x, y) : 3x - y = 0\}$ เคी เคाँเค เคीเคिเค।
$x \in A$ เคे เคฒिเค เคฎाเคจ เคฐเคเคจे เคชเคฐ: $R = \{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)\}$.
- เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ (Reflexive): เคช्เคฐเคค्เคฏेเค $a \in A$ เคे เคฒिเค $(a, a) \in R$ เคนोเคจा เคाเคนिเค। เคฏเคนाँ $(1, 1) \notin R$ (เค्เคฏोंเคि $3(1) - 1 = 2 \neq 0$)। เค เคคः $R$ เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ เคจเคนीं เคนै।
- เคธเคฎเคฎिเคค (Symmetric): เคฏเคนाँ $(1, 3) \in R$, เคชเคฐंเคคु $(3, 1) \notin R$ (เค्เคฏोंเคि $3(3) - 1 = 8 \neq 0$)। เค เคคः $R$ เคธเคฎเคฎिเคค เคจเคนीं เคนै।
- เคธंเค्เคฐाเคฎเค (Transitive): เคฏเคนाँ $(1, 3) \in R$ เคคเคฅा $(3, 9) \in R$, เคชเคฐंเคคु $(1, 9) \notin R$ (เค्เคฏोंเคि $3(1) - 9 = -6 \neq 0$)। เค เคคः $R$ เคธंเค्เคฐाเคฎเค เคจเคนीं เคนै।
เคช्เคฐเคถ्เคจ 1 (2): เคชूเคฐ्เคฃांเคों เคे เคธเคฎुเค्เคเคฏ $Z$ เคฎें เคธंเคฌंเคง $R = \{(x, y) : x - y \in Z\}$ เคी เคाँเค เคीเคिเค।
- เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ: เคช्เคฐเคค्เคฏेเค $x \in Z$ เคे เคฒिเค, $x - x = 0 \in Z$ (เคถूเคจ्เคฏ เคเค เคชूเคฐ्เคฃांเค เคนै)। เค เคคः $(x, x) \in R \implies R$ เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ เคนै।
- เคธเคฎเคฎिเคค: เคฎाเคจा $(x, y) \in R \implies (x - y) = k \in Z$। เคคเคฌ $y - x = -(x - y) = -k \in Z$ (เคชूเคฐ्เคฃांเค เคा เคเคฃाเคค्เคฎเค เคญी เคชूเคฐ्เคฃांเค เคนोเคคा เคนै)। เค เคคः $(y, x) \in R \implies R$ เคธเคฎเคฎिเคค เคนै।
- เคธंเค्เคฐाเคฎเค: เคฎाเคจा $(x, y) \in R$ เคคเคฅा $(y, z) \in R \implies x - y = k_1 \in Z$ เคเคฐ $y - z = k_2 \in Z$। เคฆोเคจों เคो เคोเคก़เคจे เคชเคฐ: $(x - y) + (y - z) = x - z = k_1 + k_2 \in Z$। เค เคคः $(x, z) \in R \implies R$ เคธंเค्เคฐाเคฎเค เคนै।
2. เคฎเคนเคค्เคตเคชूเคฐ्เคฃ เคธिเคฆ्เคง เคเคฐเคจे เคตाเคฒे เคช्เคฐเคถ्เคจ (Important Proofs)
เคช्เคฐเคถ्เคจ 2: เคธिเคฆ्เคง เคीเคिเค เคि เคตाเคธ्เคคเคตिเค เคธंเค्เคฏाเคं เคे เคธเคฎुเค्เคเคฏ $\mathbb{R}$ เคฎें $R = \{(a, b) : a \leq b^2\}$ เคจ เคคो เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ เคนै, เคจ เคธเคฎเคฎिเคค เคเคฐ เคจ เคนी เคธंเค्เคฐाเคฎเค।
- เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ เคจเคนीं เคนै: เคฎाเคจा $a = \frac{1}{2} \in \mathbb{R}$। เคคเคฌ $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$। เคฏเคนाँ $\frac{1}{2} \leq \frac{1}{4}$ เค เคธเคค्เคฏ เคนै ($\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$)। เค เคคः $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \notin R$।
- เคธเคฎเคฎिเคค เคจเคนीं เคนै: เคฎाเคจा $a = 1, b = 2$। เคฏเคนाँ $1 \leq 2^2 \implies (1, 2) \in R$। เคชเคฐंเคคु $2 \leq 1^2 \implies 2 \leq 1$ เค เคธเคค्เคฏ เคนै, เค เคคः $(2, 1) \notin R$।
- เคธंเค्เคฐाเคฎเค เคจเคนीं เคนै: เคฎाเคจा $a = 2, b = -2, c = 1$। เคฏเคนाँ $2 \leq (-2)^2 = 4 \implies (2, -2) \in R$ เคคเคฅा $-2 \leq (1)^2 = 1 \implies (-2, 1) \in R$। เคชเคฐंเคคु $2 \leq (1)^2 \implies 2 \leq 1$ เค เคธเคค्เคฏ เคนै, เค เคคः $(2, 1) \notin R$।
เคช्เคฐเคถ्เคจ 3: เคธเคฎुเค्เคเคฏ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ เคฎें เคธंเคฌंเคง $R = \{(a, b) : b = a + 1\}$ เคी เคช्เคฐเคृเคคि เคाँเคिเค।
- $(1, 1) \notin R \implies$ เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ เคจเคนीं เคนै।
- $(1, 2) \in R$ เคชเคฐंเคคु $(2, 1) \notin R \implies$ เคธเคฎเคฎिเคค เคจเคนीं เคนै।
- $(1, 2) \in R, (2, 3) \in R$ เคชเคฐंเคคु $(1, 3) \notin R \implies$ เคธंเค्เคฐाเคฎเค เคจเคนीं เคนै।
เคช्เคฐเคถ्เคจ 4: เคธंเคฌंเคง $R = \{(a, b) : a \leq b^3\}$ เคी เคช्เคฐเคृเคคि $\mathbb{R}$ เคชเคฐ เคाँเคिเค।
- $a = \frac{1}{2}$ เคे เคฒिเค, $\frac{1}{2} \leq (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ เค เคธเคค्เคฏ เคนै $\implies$ เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ เคจเคนीं เคนै।
- $(1, 2) \in R$ ($1 \leq 8$) เคชเคฐंเคคु $(2, 1) \notin R$ ($2 \leq 1$ เค เคธเคค्เคฏ) $\implies$ เคธเคฎเคฎिเคค เคจเคนीं เคนै।
- $a = 9, b = 3, c = 2$ เคฒेเคจे เคชเคฐ: $9 \leq 3^3 = 27$ เคเคฐ $3 \leq 2^3 = 8$, เคชเคฐंเคคु $9 \leq 2^3 = 8$ เค เคธเคค्เคฏ เคนै $\implies$ เคธंเค्เคฐाเคฎเค เคจเคนीं เคนै।
เคช्เคฐเคถ्เคจ 5: $A = \{x \in Z : 0 \leq x \leq 12\}$ เคฎें เคธिเคฆ्เคง เคीเคिเค เคि เคจिเคฎ्เคจ เคคुเคฒ्เคฏเคคा เคธंเคฌंเคง เคนैं:
(i) $R = \{(a, b) : |a - b| \text{ 4 เคा เคुเคฃเค เคนै}\}$
(ii) $R = \{(a, b) : a = b\}$
- เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ: $|a - a| = 0 = 0 \times 4$ (4 เคा เคुเคฃเค เคนै) $\implies (a, a) \in R$।
- เคธเคฎเคฎिเคค: เคฏเคฆि $(a, b) \in R \implies |a - b| = 4k \implies |b - a| = |- (a - b)| = |a - b| = 4k \implies (b, a) \in R$।
- เคธंเค्เคฐाเคฎเค: เคฏเคฆि $(a, b) \in R$ เคคเคฅा $(b, c) \in R \implies a - b = \pm 4k_1$ เคเคตं $b - c = \pm 4k_2$। เคฆोเคจों เคो เคोเคก़เคจे เคชเคฐ $a - c = \pm 4(k_1 + k_2) \implies |a - c|$ เคญी 4 เคा เคुเคฃเค เคนै $\implies (a, c) \in R$।
เคนเคฒ (ii): $a = a$ (เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ), $a = b \implies b = a$ (เคธเคฎเคฎिเคค), เคเคฐ $a = b$ เคต $b = c \implies a = c$ (เคธंเค्เคฐाเคฎเค)। เค เคคः เคฏเคน เคญी เคเค เคคुเคฒ्เคฏเคคा เคธंเคฌंเคง เคนै।
3. เคตเคธ्เคคुเคจिเคท्เค เคช्เคฐเคถ्เคจ (MCQ Solutions)
เคช्เคฐเคถ्เคจ 6: เคธเคฎुเค्เคเคฏ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ เคชเคฐ เคธंเคฌंเคง $R = \{(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)\}$ เคฆिเคฏा เคนै। เคธเคนी เคตिเคเคฒ्เคช เคुเคจें:
- (A) เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ เคต เคธเคฎเคฎिเคค เคฒेเคिเคจ เคธंเค्เคฐाเคฎเค เคจเคนीं
- (B) เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ เคต เคธंเค्เคฐाเคฎเค เคฒेเคिเคจ เคธเคฎเคฎिเคค เคจเคนीं
- (C) เคธเคฎเคฎिเคค เคต เคธंเค्เคฐाเคฎเค เคฒेเคिเคจ เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ เคจเคนीं
- (D) เคคुเคฒ्เคฏเคคा เคธंเคฌंเคง
เคธ्เคชเคท्เคीเคเคฐเคฃ:
1. $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4) \in R \implies$ เคธ्เคตเคคुเคฒ्เคฏ เคนै।
2. $(1, 2) \in R$ เคชเคฐंเคคु $(2, 1) \notin R \implies$ เคธเคฎเคฎिเคค เคจเคนीं เคนै।
3. เคธเคญी เคฏुเค्เคฎों เคैเคธे $(1, 3) \in R$ เคต $(3, 2) \in R \implies (1, 2) \in R$ เคธंเคคुเคท्เค เคนोเคคे เคนैं $\implies$ เคธंเค्เคฐाเคฎเค เคนै।
เคช्เคฐเคถ्เคจ 7: เคธंเคฌंเคง $R = \{(a, b) : a = b - 2, b > 6\}$ เคे เคฒिเค เคธเคนी เคตिเคเคฒ्เคช เคुเคจें:
- (A) $(2, 4) \in R$
- (B) $(3, 8) \in R$
- (C) $(6, 8) \in R$
- (D) $(8, 7) \in R$
เคธ्เคชเคท्เคीเคเคฐเคฃ: เคถเคฐ्เคค $b > 6$ เคนै, เคเคธเคฒिเค เคตिเคเคฒ्เคช (A) เคเคฒเคค เคนै। เคตिเคเคฒ्เคช (C) เคฎें $b = 8 > 6$ เคนै เคเคฐ $a = 8 - 2 = 6$ เคฎिเคฒเคคा เคนै। เค เคคः $(6, 8) \in R$ เคธเคนी เคนै।
4. เคซเคฒเคจों เคे เคช्เคฐเคाเคฐ (เคเคैเคी เคเคตं เคเค्เคाเคฆเค - One-One & Onto)
เคช्เคฐเคถ्เคจ 8: เคธिเคฆ्เคง เคीเคिเค เคि $f(x) = 2x$, $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ เคเคैเคी (Injective) เคนै เคฒेเคिเคจ เคเค्เคाเคฆเค (Surjective) เคจเคนीं เคนै।
- เคเคैเคी (One-One): เคฎाเคจा $x_1, x_2 \in \mathbb{N}$ เคे เคฒिเค $f(x_1) = f(x_2) \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2$। เค เคคः $f$ เคเคैเคी เคนै।
- เคเค्เคाเคฆเค (Onto): เคธเคน-เคช्เคฐांเคค (Codomain) $\mathbb{N}$ เคฎें เคตिเคทเคฎ เคธंเค्เคฏा $1$ เคे เคฒिเค เคช्เคฐांเคค (Domain) เคฎें เคोเค เคเคธा $x \in \mathbb{N}$ เคจเคนीं เคนै เคคाเคि $f(x) = 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \notin \mathbb{N}$। เค เคคः $f$ เคเค्เคाเคฆเค เคจเคนीं เคนै।
เคช्เคฐเคถ्เคจ 9: เคธिเคฆ्เคง เคीเคिเค เคि $f(x) = 2x$, $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ เคเคैเคी เคเคตं เคเค्เคाเคฆเค (Bijective) เคนै।
- เคเคैเคी: $f(x_1) = f(x_2) \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2$ $\implies$ เคเคैเคी เคนै।
- เคเค्เคाเคฆเค: เคช्เคฐเคค्เคฏेเค $y \in \mathbb{R}$ (เคธเคน-เคช्เคฐांเคค) เคे เคฒिเค, $x = \frac{y}{2} \in \mathbb{R}$ (เคช्เคฐांเคค) เคเคธ เคช्เคฐเคाเคฐ เคตिเคฆ्เคฏเคฎाเคจ เคนै เคि $f(x) = f(\frac{y}{2}) = 2(\frac{y}{2}) = y$। เค เคคः $f$ เคเค्เคाเคฆเค เคนै।
เคช्เคฐเคถ्เคจ 10: เคธिเคฆ्เคง เคीเคिเค เคि $f(x) = \frac{1}{x}$, $f: \mathbb{R}_* \to \mathbb{R}_*$ (เคเคนाँ $\mathbb{R}_*$ เคธเคญी เคถूเคจ्เคฏेเคคเคฐ เคตाเคธ्เคคเคตिเค เคธंเค्เคฏाเคं เคा เคธเคฎुเค्เคเคฏ เคนै) เคเคैเคी เคเคตं เคเค्เคाเคฆเค เคนै।
- เคเคैเคी: $f(x_1) = f(x_2) \implies \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \implies x_1 = x_2$ $\implies$ เคเคैเคी เคนै।
- เคเค्เคाเคฆเค: เคिเคธी เคญी $y \in \mathbb{R}_*$ เคे เคฒिเค $x = \frac{1}{y} \in \mathbb{R}_*$ เคนोเคा, เคिเคธเคธे $f(x) = f(\frac{1}{y}) = \frac{1}{1/y} = y$ $\implies$ เคเค्เคाเคฆเค เคนै।
เคช्เคฐเคถ्เคจ 11: เคจिเคฎ्เคจ เคซเคฒเคจों เคे เคुเคฃों (เคเคैเคी เคเคตं เคเค्เคाเคฆเค) เคी เคाँเค เคीเคिเค:
- $f(x) = x^2, f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$: เคเคैเคी เคนै (เค्เคฏोंเคि $x_1^2 = x_2^2 \implies x_1 = x_2$, เคช्เคฐाเคृเคค เคธंเค्เคฏाเคं เคฎें), เคชเคฐंเคคु เคเค्เคाเคฆเค เคจเคนीं เคนै (เคธเคน-เคช्เคฐांเคค เคे เค เคตเคฏเคต 2, 3 เคिเคธी เคे เคตเคฐ्เค เคจเคนीं เคนैं)।
- $f(x) = x^2, f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$: เคจ เคคो เคเคैเคी เคนै ($f(-1) = f(1) = 1$) เคเคฐ เคจ เคนी เคเค्เคाเคฆเค (เคเคฃाเคค्เคฎเค เคชूเคฐ्เคฃांเค เคिเคธी เคे เคตเคฐ्เค เคจเคนीं เคนैं)।
- $f(x) = x^2, f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$: เคจ เคคो เคเคैเคी เคนै ($f(-2) = f(2) = 4$) เคเคฐ เคจ เคนी เคเค्เคाเคฆเค (เคเคฃाเคค्เคฎเค เคตाเคธ्เคคเคตिเค เคธंเค्เคฏाเคं เคा เคोเค เคชूเคฐ्เคต-เคช्เคฐเคคिเคฌिंเคฌ เคจเคนीं เคนै)।
- $f(x) = x^3, f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$: เคเคैเคी เคนै ($x_1^3 = x_2^3 \implies x_1 = x_2$), เคชเคฐंเคคु เคเค्เคाเคฆเค เคจเคนीं เคนै (เคธเคน-เคช्เคฐांเคค เคे เค เคตเคฏเคต 2, 3 เคिเคธी เคा เคเคจ เคจเคนीं เคนैं)।
- $f(x) = x^3, f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$: เคเคैเคी เคนै ($x_1^3 = x_2^3 \implies x_1 = x_2$), เคชเคฐंเคคु เคเค्เคाเคฆเค เคจเคนीं เคนै ($2 \in \mathbb{Z}$ เคिเคธी เคชूเคฐ्เคฃांเค เคा เคเคจ เคจเคนीं เคนै)।
Frequently Asked Questions (FAQs)
เค เคจ्เคฏ เคฎเคนเคค्เคตเคชूเคฐ्เคฃ เคช्เคฐเคถ्เคจ เคชเคค्เคฐ (Other Important Papers)
เค्เคฏा เคเคช UP Board เคे เคชिเคเคฒे เคตเคฐ्เคท เคे เค เคจ्เคฏ เค्เคตेเคถ्เคเคจ เคชेเคชเคฐ เคขूंเคข เคฐเคนे เคนैं? เคช्เคฐเคถ्เคจ เคชเคค्เคฐ เคฆेเคเคจे เคे เคฒिเค เคจीเคे เคฆिเค เคเค เคฒिंเค เคชเคฐ เคाเคं:
[social-up-board]
Comments
Post a Comment