यूपी बोर्ड कक्षा 12 गणित का पेपर छात्रों के लिए हमेशा से ही एक महत्वपूर्ण परीक्षा रही है। इस साल भी, 324 एफजे कोड वाला पेपर छात्रों के लिए चुनौतीपूर्ण रहा। इस पोस्ट में, हम इस पेपर के सभी प्रश्नों के उत्तर और उन्हें हल करने के तरीके देखेंगे
UP Board Class 12th Mathematics Question Paper 2022 (With Solution)
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| UP Board Class 12 Mathematics Full Paper Solution 324 (FJ) 2022 |
विषय: गणित
समय: तीन घण्टे 15 मिनट
पूर्णांक: 100
निर्देश:
- इस प्रश्नपत्र में कुल नौ प्रश्न हैं।
- सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
प्रश्न 1. निम्नलिखित सभी खण्डों को हल कीजिए:
क) \(\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \sec^{-1}(-2)\) का मान बराबर है:
(i) \(\pi\)
(ii) \(-\pi/3\)
(iii) \(\pi/3\)
(iv) \(2\pi/3\)
(1 अंक)
हल (Solution):
हम जानते हैं कि, \(\tan^{-1}(\sqrt{3})\) का मुख्य मान \(\pi/3\) होता है।
और, \(\sec^{-1}(-2)\) का मुख्य मान \(2\pi/3\) होता है।
इसलिए, \(\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \sec^{-1}(-2) = \pi/3 - 2\pi/3 = -\pi/3\)
सही विकल्प: (ii)
हम जानते हैं कि, \(\tan^{-1}(\sqrt{3})\) का मुख्य मान \(\pi/3\) होता है।
और, \(\sec^{-1}(-2)\) का मुख्य मान \(2\pi/3\) होता है।
इसलिए, \(\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \sec^{-1}(-2) = \pi/3 - 2\pi/3 = -\pi/3\)
सही विकल्प: (ii)
ख) मान लीजिए कि समुच्चय N में \(R=\{(a,b): a=b-2, b > 6\}\) द्वारा परिभाषित सम्बन्ध है तो:
(i) \((2,4) \in R\)
(ii) \((3,8) \in R\)
(iii) \((6,8) \in R\)
(iv) \((8,7) \in R\)
(1 अंक)
हल (Solution):
दिए गए संबंध के अनुसार, \(b\) का मान 6 से बड़ा होना चाहिए और \(a = b-2\) होना चाहिए।
विकल्प (iii) में \(b=8\) है, जो 6 से बड़ा है।
अब \(a = b-2 = 8-2 = 6\)।
अतः, \((6,8) \in R\) सत्य है।
सही विकल्प: (iii)
दिए गए संबंध के अनुसार, \(b\) का मान 6 से बड़ा होना चाहिए और \(a = b-2\) होना चाहिए।
विकल्प (iii) में \(b=8\) है, जो 6 से बड़ा है।
अब \(a = b-2 = 8-2 = 6\)।
अतः, \((6,8) \in R\) सत्य है।
सही विकल्प: (iii)
ग) \(3 \times 3\) कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या कितनी होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(i) 512
(ii) 81
(iii) 18
(iv) 27
(1 अंक)
हल (Solution):
एक \(3 \times 3\) आव्यूह में कुल 9 अवयव होते हैं।
प्रत्येक अवयव को 2 तरीकों (0 या 1) से भरा जा सकता है।
अतः, आव्यूहों की कुल संख्या = \(2^9 = 512\)
सही विकल्प: (i)
एक \(3 \times 3\) आव्यूह में कुल 9 अवयव होते हैं।
प्रत्येक अवयव को 2 तरीकों (0 या 1) से भरा जा सकता है।
अतः, आव्यूहों की कुल संख्या = \(2^9 = 512\)
सही विकल्प: (i)
घ) कौन-सा फलन \(x = 1\) पर अवकलनीय नहीं है?
(i) \(f(x)=|x-2|\)
(ii) \(f(x)=|x-1|\)
(iii) \(f(x)=\frac{x}{|x|}\)
(iv) \(f(x)=|x+1|\)
(1 अंक)
हल (Solution):
मापांक फलन (modulus function) \(f(x) = |x-a|\) उस बिंदु पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ इसका मान शून्य होता है, यानी \(x=a\) पर।
यहाँ, फलन \(f(x) = |x-1|\) बिंदु \(x=1\) पर शून्य होता है, इसलिए यह \(x=1\) पर अवकलनीय नहीं है।
सही विकल्प: (ii)
मापांक फलन (modulus function) \(f(x) = |x-a|\) उस बिंदु पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ इसका मान शून्य होता है, यानी \(x=a\) पर।
यहाँ, फलन \(f(x) = |x-1|\) बिंदु \(x=1\) पर शून्य होता है, इसलिए यह \(x=1\) पर अवकलनीय नहीं है।
सही विकल्प: (ii)
ङ) भुजा में 3% वृद्धि के कारण भुजा \(x\text{ cm}\) के घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है:
(i) \(0.06 x^3\text{ cm}^3\>
(ii) \(0.6 x^3\text{ cm}^3\>
(iii) \(0.09 x^3\text{ cm}^3\>
(iv) \(0.9 x^3\text{ cm}^3\>
(1 अंक)
हल (Solution):
घन का आयतन, \(V = x^3\)
आयतन में सन्निकट परिवर्तन, \(dV = \frac{dV}{dx} \cdot \Delta x\)
\(\frac{dV}{dx} = 3x^2\)
भुजा में परिवर्तन, \(\Delta x = 3\%\text{ of } x = 0.03x\)
\(dV = (3x^2)(0.03x) = 0.09x^3\text{ cm}^3\>
सही विकल्प: (iii)
घन का आयतन, \(V = x^3\)
आयतन में सन्निकट परिवर्तन, \(dV = \frac{dV}{dx} \cdot \Delta x\)
\(\frac{dV}{dx} = 3x^2\)
भुजा में परिवर्तन, \(\Delta x = 3\%\text{ of } x = 0.03x\)
\(dV = (3x^2)(0.03x) = 0.09x^3\text{ cm}^3\>
सही विकल्प: (iii)
प्रश्न 2. निम्नलिखित सभी खण्डों को हल कीजिए:
क) \(\int \frac{dx}{1+\tan x}\) का मान ज्ञात कीजिए। (1 अंक)
हल (Solution):
\(I = \int \frac{dx}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} = \int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx\)
\(I = \frac{1}{2} \int \frac{2\cos x}{\cos x + \sin x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{(\cos x + \sin x) + (\cos x - \sin x)}{\cos x + \sin x} dx\)
\(I = \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx\)
\(I = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \log|\cos x + \sin x| + C\)
\(I = \int \frac{dx}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} = \int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx\)
\(I = \frac{1}{2} \int \frac{2\cos x}{\cos x + \sin x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{(\cos x + \sin x) + (\cos x - \sin x)}{\cos x + \sin x} dx\)
\(I = \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx\)
\(I = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \log|\cos x + \sin x| + C\)
ख) वक्र \(y^2=4x\), y-अक्ष एवं रेखा \(y = 3\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (1 अंक)
हल (Solution):
क्षेत्रफल \(A = \int_0^3 x dy\)
चूंकि \(y^2=4x\), तो \(x = \frac{y^2}{4}\)
\(A = \int_0^3 \left(\frac{y^2}{4}\right) dy = \frac{1}{4} \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^3\)
\(A = \frac{1}{12} (3^3 - 0^3) = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}\) वर्ग इकाई।
क्षेत्रफल \(A = \int_0^3 x dy\)
चूंकि \(y^2=4x\), तो \(x = \frac{y^2}{4}\)
\(A = \int_0^3 \left(\frac{y^2}{4}\right) dy = \frac{1}{4} \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^3\)
\(A = \frac{1}{12} (3^3 - 0^3) = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}\) वर्ग इकाई।
ग) अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{y-2}\) (\(y \neq 2\)) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। (1 अंक)
हल (Solution):
\((y-2)dy = (x+1)dx\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
\(\int(y-2)dy = \int(x+1)dx\)
\(\frac{y^2}{2} - 2y = \frac{x^2}{2} + x + C\)
\(y^2 - 4y = x^2 + 2x + 2C\)
\(y^2 - x^2 - 4y - 2x = C_1\)
\((y-2)dy = (x+1)dx\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
\(\int(y-2)dy = \int(x+1)dx\)
\(\frac{y^2}{2} - 2y = \frac{x^2}{2} + x + C\)
\(y^2 - 4y = x^2 + 2x + 2C\)
\(y^2 - x^2 - 4y - 2x = C_1\)
घ) सदिशों \(\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}\) और \(3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। (1 अंक)
हल (Solution):
मान लीजिए \(\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}\) और \(\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}\)
\(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\)
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) = 3+4+3=10\)
\(|\vec{a}| = sqrt{1^2+(-2)^2+3^2} = sqrt{1+4+9} = sqrt{14}\)
\(|\vec{b}| = sqrt{3^2+(-2)^2+1^2} = sqrt{9+4+1) = sqrt{14}\)
\(\cos \theta = \frac{10}{\sqrt{14}\sqrt{14}} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}\)
\(\theta = \sec^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)\)
मान लीजिए \(\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}\) और \(\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}\)
\(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\)
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) = 3+4+3=10\)
\(|\vec{a}| = sqrt{1^2+(-2)^2+3^2} = sqrt{1+4+9} = sqrt{14}\)
\(|\vec{b}| = sqrt{3^2+(-2)^2+1^2} = sqrt{9+4+1) = sqrt{14}\)
\(\cos \theta = \frac{10}{\sqrt{14}\sqrt{14}} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}\)
\(\theta = \sec^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)\)
ङ) यदि A तथा B दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं जहाँ \(P(A)=0.3\), \(P(B)=0.6\) हों तो \(P(A \cap B)\) ज्ञात कीजिए। (1 अंक)
हल (Solution):
चूंकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, इसलिए \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
\(P(A \cap B) = 0.3 \cdot 0.6 = 0.18\)
चूंकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, इसलिए \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
\(P(A \cap B) = 0.3 \cdot 0.6 = 0.18\)
प्रश्न 3. निम्नलिखित सभी खण्डों को हल कीजिए:
क) सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों के समुच्चय Z में \(R=\{(a,b): 2, (a-b)\) को विभाजित करती है\(\}\) द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध एक तुल्यता सम्बन्ध है।
(2 अंक)
हल (Solution):
एक तुल्यता संबंध के लिए, संबंध को स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होना चाहिए।
1. स्वतुल्य (Reflexive):
प्रत्येक \(a \in Z\) के लिए, \((a-a) = 0\)।
चूंकि 0, 2 से विभाज्य है, इसलिए \((a,a) \in R\)।
अतः, R स्वतुल्य है।
2. सममित (Symmetric):
मान लीजिए \((a,b) \in R\), इसका अर्थ है कि \((a-b)\), 2 से विभाज्य है।
तो, \(a-b = 2k\) (जहाँ k एक पूर्णांक है)।
इसका मतलब \(b-a = -(a-b) = -2k = 2(-k)\)।
चूंकि \((-k)\) भी एक पूर्णांक है, \((b-a)\) भी 2 से विभाज्य है।
Atom, \((b,a) \in R\)।
अतः, R सममित है।
3. संक्रामक (Transitive):
मान लीजिए \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\)।
तो, \((a-b)\) और \((b-c)\) दोनों 2 से विभाज्य हैं।
\(a-b = 2k_1\) और \(b-c = 2k_2\) (जहाँ \(k_1, k_2\) पूर्णांक हैं)।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: \((a-b) + (b-c) = 2k_1 + 2k_2\)
\(a-c = 2(k_1 + k_2)\)।
चूंकि \((k_1 + k_2)\) एक पूर्णांक है, \((a-c)\) भी 2 से विभाज्य है।
इसलिए, \((a,c) \in R\)।
अतः, R संक्रामक है।
चूंकि R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, यह एक तुल्यता संबंध है।
एक तुल्यता संबंध के लिए, संबंध को स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होना चाहिए।
1. स्वतुल्य (Reflexive):
प्रत्येक \(a \in Z\) के लिए, \((a-a) = 0\)।
चूंकि 0, 2 से विभाज्य है, इसलिए \((a,a) \in R\)।
अतः, R स्वतुल्य है।
2. सममित (Symmetric):
मान लीजिए \((a,b) \in R\), इसका अर्थ है कि \((a-b)\), 2 से विभाज्य है।
तो, \(a-b = 2k\) (जहाँ k एक पूर्णांक है)।
इसका मतलब \(b-a = -(a-b) = -2k = 2(-k)\)।
चूंकि \((-k)\) भी एक पूर्णांक है, \((b-a)\) भी 2 से विभाज्य है।
Atom, \((b,a) \in R\)।
अतः, R सममित है।
3. संक्रामक (Transitive):
मान लीजिए \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\)।
तो, \((a-b)\) और \((b-c)\) दोनों 2 से विभाज्य हैं।
\(a-b = 2k_1\) और \(b-c = 2k_2\) (जहाँ \(k_1, k_2\) पूर्णांक हैं)।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: \((a-b) + (b-c) = 2k_1 + 2k_2\)
\(a-c = 2(k_1 + k_2)\)।
चूंकि \((k_1 + k_2)\) एक पूर्णांक है, \((a-c)\) भी 2 से विभाज्य है।
इसलिए, \((a,c) \in R\)।
अतः, R संक्रामक है।
चूंकि R स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, यह एक तुल्यता संबंध है।
ख) यदि \(A=\begin{bmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{bmatrix}\) तो दिखाइए \(|2A|=4|A|\)。
(2 अंक)
हल (Solution):
पहले हम \(|A|\) का मान निकालते हैं:
$$|A| = \begin{vmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{vmatrix} = (1)(2) - (2)(4) = 2 - 8 = -6$$
RHS (दाहिना पक्ष) = \(4|A| = 4(-6) = -24\)
अब हम \(2A\) निकालते हैं:
$$2A = 2 \cdot \begin{bmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\cdot1 & 2\cdot2\\2\cdot4 & 2\cdot2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 4\\8 & 4\end{bmatrix}$$
अब \(|2A|\) का मान निकालते हैं:
$$|2A| = \begin{vmatrix}2 & 4\\8 & 4\end{vmatrix} = (2)(4) - (4)(8) = 8 - 32 = -24$$
LHS (बायां पक्ष) = \(-24\)
चूंकि LHS = RHS (\(-24 = -24\)), इसलिए यह सिद्ध होता है कि \(|2A|=4|A|\)।
पहले हम \(|A|\) का मान निकालते हैं:
$$|A| = \begin{vmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{vmatrix} = (1)(2) - (2)(4) = 2 - 8 = -6$$
RHS (दाहिना पक्ष) = \(4|A| = 4(-6) = -24\)
अब हम \(2A\) निकालते हैं:
$$2A = 2 \cdot \begin{bmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\cdot1 & 2\cdot2\\2\cdot4 & 2\cdot2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 4\\8 & 4\end{bmatrix}$$
अब \(|2A|\) का मान निकालते हैं:
$$|2A| = \begin{vmatrix}2 & 4\\8 & 4\end{vmatrix} = (2)(4) - (4)(8) = 8 - 32 = -24$$
LHS (बायां पक्ष) = \(-24\)
चूंकि LHS = RHS (\(-24 = -24\)), इसलिए यह सिद्ध होता है कि \(|2A|=4|A|\)।
ग) x के सापेक्ष \(x^{\sin x}\) का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए (\(x > 0\))।
(2 अंक)
हल (Solution):
मान लीजिए \(y = x^{\sin x}\)。
दोनों पक्षों में log लेने पर:
\(\log y = \log(x^{\sin x})\)
\(\log y = \sin x \cdot \log x\)
अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर (product rule का उपयोग करके):
\(\frac{d}{dx}(\log y) = \frac{d}{dx}(\sin x \cdot \log x)\)
\(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \left(\frac{d}{dx}(\sin x)\right) \cdot \log x + \sin x \cdot \left(\frac{d}{dx}(\log x)\right)\)
\(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = (\cos x) \cdot \log x + \sin x \cdot \left(\frac{1}{x}\right)\)
\(\frac{dy}{dx}\) के लिए हल करने पर:
\(\frac{dy}{dx} = y \cdot \left(\cos x \cdot \log x + \frac{\sin x}{x}\right)\)
y का मान वापस रखने पर:
\(\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \cdot \left(\cos x \cdot \log x + \frac{\sin x}{x}\right)\)
मान लीजिए \(y = x^{\sin x}\)。
दोनों पक्षों में log लेने पर:
\(\log y = \log(x^{\sin x})\)
\(\log y = \sin x \cdot \log x\)
अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर (product rule का उपयोग करके):
\(\frac{d}{dx}(\log y) = \frac{d}{dx}(\sin x \cdot \log x)\)
\(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \left(\frac{d}{dx}(\sin x)\right) \cdot \log x + \sin x \cdot \left(\frac{d}{dx}(\log x)\right)\)
\(\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = (\cos x) \cdot \log x + \sin x \cdot \left(\frac{1}{x}\right)\)
\(\frac{dy}{dx}\) के लिए हल करने पर:
\(\frac{dy}{dx} = y \cdot \left(\cos x \cdot \log x + \frac{\sin x}{x}\right)\)
y का मान वापस रखने पर:
\(\frac{dy}{dx} = x^{\sin x} \cdot \left(\cos x \cdot \log x + \frac{\sin x}{x}\right)\)
घ) किस अन्तराल में फलन \(f(x)=x^2-4x+6\) वर्धमान है?
(2 अंक)
हल (Solution):
वर्धमान फलन के लिए, \(f'(x) > 0\) होना चाहिए।
दिया गया फलन: \(f(x) = x^2 - 4x + 6\)
इसका अवकलन करने पर:
\(f'(x) = 2x - 4\)
अब, \(f'(x) > 0\) रखने पर:
\(2x - 4 > 0\)
\(2x > 4\)
\(x > 2\)
अतः, फलन \((2, \infty)\) के अंतराल में वर्धमान (increasing) है।
वर्धमान फलन के लिए, \(f'(x) > 0\) होना चाहिए।
दिया गया फलन: \(f(x) = x^2 - 4x + 6\)
इसका अवकलन करने पर:
\(f'(x) = 2x - 4\)
अब, \(f'(x) > 0\) रखने पर:
\(2x - 4 > 0\)
\(2x > 4\)
\(x > 2\)
अतः, फलन \((2, \infty)\) के अंतराल में वर्धमान (increasing) है।
प्रश्न 4. निम्नलिखित सभी खण्डों को हल कीजिए:
क) \(\int \frac{dx}{x^2+2x+2}\) का मान ज्ञात कीजिए।
(2 अंक)
हल (Solution):
दिए गए समाकलन को हल करने के लिए, हम हर (denominator) में पूर्ण वर्ग (completing the square) विधि का उपयोग करेंगे।
\(x^2+2x+2 = (x^2+2x+1) + 1 = (x+1)^2 + 1^2\)
अब समाकलन इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(I = \int \frac{dx}{(x+1)^2 + 1^2}\)
हम जानते हैं कि \(\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C\) होता है।
यहाँ, \(x\) के स्थान पर \((x+1)\) और \(a=1\) है।
इसलिए,
\(I = \frac{1}{1} \tan^{-1}\left(\frac{x+1}{1}\right) + C\)
\(I = \tan^{-1}(x+1) + C\)
अतः, समाकलन का मान \(\tan^{-1}(x+1) + C\) है।
दिए गए समाकलन को हल करने के लिए, हम हर (denominator) में पूर्ण वर्ग (completing the square) विधि का उपयोग करेंगे।
\(x^2+2x+2 = (x^2+2x+1) + 1 = (x+1)^2 + 1^2\)
अब समाकलन इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(I = \int \frac{dx}{(x+1)^2 + 1^2}\)
हम जानते हैं कि \(\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C\) होता है।
यहाँ, \(x\) के स्थान पर \((x+1)\) और \(a=1\) है।
इसलिए,
\(I = \frac{1}{1} \tan^{-1}\left(\frac{x+1}{1}\right) + C\)
\(I = \tan^{-1}(x+1) + C\)
अतः, समाकलन का मान \(\tan^{-1}(x+1) + C\) है।
ख) बिन्दुओं (-2, 4, -5) und (1, 2, 3) को मिलाने वाली रेखा की दिक्-कोसाइन (direction cosines) ज्ञात कीजिए।
(2 अंक)
हल (Solution):
मान लीजिए दिए गए बिंदु P(-2, 4, -5) और Q(1, 2, 3) हैं।
1. दिक्-अनुपात (Direction Ratios) ज्ञात करना:
दिक्-अनुपात \((a, b, c)\) = \((x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)\)
\(a = 1 - (-2) = 3\)
\(b = 2 - 4 = -2\)
\(c = 3 - (-5) = 8\)
अतः, दिक्-अनुपात \((3, -2, 8)\) हैं।
2. परिमाण (Magnitude) ज्ञात करना:
\(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
\(d = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 4 + 64} = \sqrt{77}\)
3. दिक्-कोसाइन (Direction Cosines) ज्ञात करना:
दिक्-कोसाइन \((l, m, n)\) = \(\left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}, \frac{c}{d}\right)\)
\(l = \frac{3}{\sqrt{77}}\)
\(m = \frac{-2}{\sqrt{77}}\)
\(n = \frac{8}{\sqrt{77}}\)
अतः, रेखा की दिक्-कोसाइन \(\left(\frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}}\right)\) हैं।
मान लीजिए दिए गए बिंदु P(-2, 4, -5) और Q(1, 2, 3) हैं।
1. दिक्-अनुपात (Direction Ratios) ज्ञात करना:
दिक्-अनुपात \((a, b, c)\) = \((x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)\)
\(a = 1 - (-2) = 3\)
\(b = 2 - 4 = -2\)
\(c = 3 - (-5) = 8\)
अतः, दिक्-अनुपात \((3, -2, 8)\) हैं।
2. परिमाण (Magnitude) ज्ञात करना:
\(d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)
\(d = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 4 + 64} = \sqrt{77}\)
3. दिक्-कोसाइन (Direction Cosines) ज्ञात करना:
दिक्-कोसाइन \((l, m, n)\) = \(\left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}, \frac{c}{d}\right)\)
\(l = \frac{3}{\sqrt{77}}\)
\(m = \frac{-2}{\sqrt{77}}\)
\(n = \frac{8}{\sqrt{77}}\)
अतः, रेखा की दिक्-कोसाइन \(\left(\frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}}\right)\) हैं।
ग) निम्न अवरोधों के अन्तर्गत \(Z=3x+9y\) का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए: \(x+3y \le 60\), \(x+y \ge 10\), \(x \le y\), \(x \ge 0\), \(y \ge 0\)। (2 अंक)
हल (Solution):
दिए गए अवरोधों से सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु (corner points) हैं: (0,10), (5,5), (15,15) और (0,20)।
अब हम इन बिंदुओं पर Z का मान ज्ञात करते हैं:
(0,10) पर: \(Z = 3(0) + 9(10) = 90\)
(5,5) पर: \(Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60\)
(15,15) पर: \(Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180\)
(0,20) पर: \(Z = 3(0) + 9(20) = 180\)
अतः, Z का न्यूनतम मान 60 है जो बिंदु (5,5) पर है।
दिए गए अवरोधों से सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु (corner points) हैं: (0,10), (5,5), (15,15) और (0,20)।
अब हम इन बिंदुओं पर Z का मान ज्ञात करते हैं:
(0,10) पर: \(Z = 3(0) + 9(10) = 90\)
(5,5) पर: \(Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60\)
(15,15) पर: \(Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180\)
(0,20) पर: \(Z = 3(0) + 9(20) = 180\)
अतः, Z का न्यूनतम मान 60 है जो बिंदु (5,5) पर है।
घ) एक परिवार में दो बच्चे हैं, इनमें कम से कम एक बच्चा लड़का है, तो दोनों बच्चों के लड़का होने की क्या प्रायिकता है? (2 अंक)
हल (Solution):
कुल संभावित परिणाम S = {BB, BG, GB, GG} (B=लड़का, G=लड़की)
घटना E: दोनों बच्चे लड़के हैं = {BB}
घटना F: कम से कम एक बच्चा लड़का है = {BB, BG, GB}
हमें \(P(E|F)\) ज्ञात करना है, जो \(\frac{P(E \cap F)}{P(F)}\) के बराबर है।
\(E \cap F\) = {BB}, तो \(P(E \cap F) = \frac{1}{4}\)
\(P(F) = \frac{3}{4}\)
\(P(E|F) = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}\)
कुल संभावित परिणाम S = {BB, BG, GB, GG} (B=लड़का, G=लड़की)
घटना E: दोनों बच्चे लड़के हैं = {BB}
घटना F: कम से कम एक बच्चा लड़का है = {BB, BG, GB}
हमें \(P(E|F)\) ज्ञात करना है, जो \(\frac{P(E \cap F)}{P(F)}\) के बराबर है।
\(E \cap F\) = {BB}, तो \(P(E \cap F) = \frac{1}{4}\)
\(P(F) = \frac{3}{4}\)
\(P(E|F) = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}\)
प्रश्न 5. निम्नलिखित में से किन्हीं पाँच खण्डों को हल कीजिए:
क) यदि P(x), समुच्चय X का घात समुच्चय (power set) है जहाँ \(X \neq \phi\), और एक सम्बन्ध R, P(x) पर इस प्रकार परिभाषित है कि ARB यदि और केवल यदि \(A \subset B\) है। सिद्ध कीजिए कि R तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।
(5 अंक)
हल (Solution):
एक तुल्यता संबंध के लिए संबंध को स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होना चाहिए। हम जाँच करेंगे कि क्या R इन शर्तों को पूरा करता है।
1. स्वतुल्य (Reflexive):
एक संबंध स्वतुल्य होता है यदि \(ARA\) सत्य हो। यहाँ इसका मतलब है \(A \subset A\)। कोई भी समुच्चय स्वयं का उचित उपसमुच्चय (proper subset) नहीं हो सकता। अतः, यह संबंध स्वतुल्य नहीं है।
2. सममित (Symmetric):
एक संबंध सममित होता है यदि \(ARB\) का अर्थ \(BRA\) हो। मान लीजिए \(A = \{1\}\) और \(B = \{1, 2\}\)।
यहाँ, \(A \subset B\) सत्य है, इसलिए \(ARB\) है।
लेकिन, \(B \subset A\) सत्य नहीं है क्योंकि B के सभी अवयव A में नहीं हैं। इसलिए, \(BRA\) सत्य नहीं है।
अतः, यह संबंध सममित नहीं है।
3. संक्रामक (Transitive):
एक संबंध संक्रामक होता है यदि \(ARB\) और \(BRC\) का अर्थ \(ARC\) हो।
यदि \(A \subset B\) और \(B \subset C\) है, तो इसका अर्थ है कि \(A\) के सभी अवयव \(B\) में हैं और \(B\) के सभी अवयव \(C\) में हैं। इससे यह स्पष्ट है कि \(A\) के सभी अवयव \(C\) में भी होंगे, अर्थात \(A \subset C\)। अतः, यह संबंध संक्रामक है।
निष्कर्ष: चूँकि दिया गया संबंध स्वतुल्य और सममित नहीं है, इसलिए यह एक तुल्यता संबंध नहीं है। (किसी भी एक शर्त के विफल होने पर भी यह तुल्यता संबंध नहीं होता)।
एक तुल्यता संबंध के लिए संबंध को स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होना चाहिए। हम जाँच करेंगे कि क्या R इन शर्तों को पूरा करता है।
1. स्वतुल्य (Reflexive):
एक संबंध स्वतुल्य होता है यदि \(ARA\) सत्य हो। यहाँ इसका मतलब है \(A \subset A\)। कोई भी समुच्चय स्वयं का उचित उपसमुच्चय (proper subset) नहीं हो सकता। अतः, यह संबंध स्वतुल्य नहीं है।
2. सममित (Symmetric):
एक संबंध सममित होता है यदि \(ARB\) का अर्थ \(BRA\) हो। मान लीजिए \(A = \{1\}\) और \(B = \{1, 2\}\)।
यहाँ, \(A \subset B\) सत्य है, इसलिए \(ARB\) है।
लेकिन, \(B \subset A\) सत्य नहीं है क्योंकि B के सभी अवयव A में नहीं हैं। इसलिए, \(BRA\) सत्य नहीं है।
अतः, यह संबंध सममित नहीं है।
3. संक्रामक (Transitive):
एक संबंध संक्रामक होता है यदि \(ARB\) और \(BRC\) का अर्थ \(ARC\) हो।
यदि \(A \subset B\) और \(B \subset C\) है, तो इसका अर्थ है कि \(A\) के सभी अवयव \(B\) में हैं और \(B\) के सभी अवयव \(C\) में हैं। इससे यह स्पष्ट है कि \(A\) के सभी अवयव \(C\) में भी होंगे, अर्थात \(A \subset C\)। अतः, यह संबंध संक्रामक है।
निष्कर्ष: चूँकि दिया गया संबंध स्वतुल्य और सममित नहीं है, इसलिए यह एक तुल्यता संबंध नहीं है। (किसी भी एक शर्त के विफल होने पर भी यह तुल्यता संबंध नहीं होता)।
ख) यदि \(A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 1\\2 & 0 & 3\end{bmatrix}\) है तो सिद्ध कीजिए कि \(A^3-6A^2+7A+2I=0\)。
(5 अंक)
हल (Solution):
चरण 1: \(A^2\) की गणना करें
$$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 1\\2 & 0 & 3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 1\\2 & 0 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 & 0 & 8\\2 & 4 & 5\\8 & 0 & 13\end{bmatrix}$$
चरण 2: \(A^3\) की गणना करें
$$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix}5 & 0 & 8\\2 & 4 & 5\\8 & 0 & 13\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 1\\2 & 0 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}21 & 0 & 34\\12 & 8 & 23\\34 & 0 & 55\end{bmatrix}$$
चरण 3: समीकरण में मान रखें \(A^3-6A^2+7A+2I\)
$$= \begin{bmatrix}21 & 0 & 34\\12 & 8 & 23\\34 & 0 & 55\end{bmatrix} - 6 \cdot \begin{bmatrix}5 & 0 & 8\\2 & 4 & 5\\8 & 0 & 13\end{bmatrix} + 7 \cdot \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 1\\2 & 0 & 3\end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix}21 & 0 & 34\\12 & 8 & 23\\34 & 0 & 55\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}30 & 0 & 48\\12 & 24 & 30\\48 & 0 & 78\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}7 & 0 & 14\\0 & 14 & 7\\14 & 0 & 21\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$$
चरण 4: आव्यूहों को जोड़ें और घटाएं
$$= \begin{bmatrix}21-30+7+2 & 0-0+0+0 & 34-48+14+0 \\ 12-12+0+0 & 8-24+14+2 & 23-30+7+0 \\ 34-48+14+2 & 0-0+0+0 & 55-78+21+2 \end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix} = 0$$
अतः, \(A^3-6A^2+7A+2I=0\) सिद्ध हुआ।
चरण 1: \(A^2\) की गणना करें
$$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 1\\2 & 0 & 3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 1\\2 & 0 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 & 0 & 8\\2 & 4 & 5\\8 & 0 & 13\end{bmatrix}$$
चरण 2: \(A^3\) की गणना करें
$$A^3 = A^2 \cdot A = \begin{bmatrix}5 & 0 & 8\\2 & 4 & 5\\8 & 0 & 13\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 1\\2 & 0 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}21 & 0 & 34\\12 & 8 & 23\\34 & 0 & 55\end{bmatrix}$$
चरण 3: समीकरण में मान रखें \(A^3-6A^2+7A+2I\)
$$= \begin{bmatrix}21 & 0 & 34\\12 & 8 & 23\\34 & 0 & 55\end{bmatrix} - 6 \cdot \begin{bmatrix}5 & 0 & 8\\2 & 4 & 5\\8 & 0 & 13\end{bmatrix} + 7 \cdot \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 1\\2 & 0 & 3\end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix}21 & 0 & 34\\12 & 8 & 23\\34 & 0 & 55\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}30 & 0 & 48\\12 & 24 & 30\\48 & 0 & 78\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}7 & 0 & 14\\0 & 14 & 7\\14 & 0 & 21\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$$
चरण 4: आव्यूहों को जोड़ें और घटाएं
$$= \begin{bmatrix}21-30+7+2 & 0-0+0+0 & 34-48+14+0 \\ 12-12+0+0 & 8-24+14+2 & 23-30+7+0 \\ 34-48+14+2 & 0-0+0+0 & 55-78+21+2 \end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix} = 0$$
अतः, \(A^3-6A^2+7A+2I=0\) सिद्ध हुआ।
ग) यदि \((\cos x)^y = (\cos y)^x\) है तो \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।
(5 अंक)
हल (Solution):
दोनों पक्षों में log लेने पर:
\(\log((\cos x)^y) = \log((\cos y)^x)\)
\(y \cdot \log(\cos x) = x \cdot \log(\cos y)\)
अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\(\frac{dy}{dx} \cdot \log(\cos x) + y \cdot \left(\frac{1}{\cos x}\right) \cdot (-\sin x) = 1 \cdot \log(\cos y) + x \cdot \left(\frac{1}{\cos y}\right) \cdot (-\sin y) \cdot \frac{dy}{dx}\)
\(\frac{dy}{dx} \cdot \log(\cos x) - y \cdot \tan x = \log(\cos y) - x \cdot \tan y \cdot \frac{dy}{dx}\)
\(\frac{dy}{dx}\) वाले पदों को एक साथ रखने पर:
\(\frac{dy}{dx} \cdot \log(\cos x) + x \cdot \tan y \cdot \frac{dy}{dx} = \log(\cos y) + y \cdot \tan x\)
\(\frac{dy}{dx} (\log(\cos x) + x \cdot \tan y) = \log(\cos y) + y \cdot \tan x\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{\log(\cos y) + y \cdot \tan x}{\log(\cos x) + x \cdot \tan y}\)
दोनों पक्षों में log लेने पर:
\(\log((\cos x)^y) = \log((\cos y)^x)\)
\(y \cdot \log(\cos x) = x \cdot \log(\cos y)\)
अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\(\frac{dy}{dx} \cdot \log(\cos x) + y \cdot \left(\frac{1}{\cos x}\right) \cdot (-\sin x) = 1 \cdot \log(\cos y) + x \cdot \left(\frac{1}{\cos y}\right) \cdot (-\sin y) \cdot \frac{dy}{dx}\)
\(\frac{dy}{dx} \cdot \log(\cos x) - y \cdot \tan x = \log(\cos y) - x \cdot \tan y \cdot \frac{dy}{dx}\)
\(\frac{dy}{dx}\) वाले पदों को एक साथ रखने पर:
\(\frac{dy}{dx} \cdot \log(\cos x) + x \cdot \tan y \cdot \frac{dy}{dx} = \log(\cos y) + y \cdot \tan x\)
\(\frac{dy}{dx} (\log(\cos x) + x \cdot \tan y) = \log(\cos y) + y \cdot \tan x\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{\log(\cos y) + y \cdot \tan x}{\log(\cos x) + x \cdot \tan y}\)
घ) \(f(x)=x+\sin 2x\) का \([0, 2\pi]\) पर उच्चतम तथा निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(5 अंक)
हल (Solution):
चरण 1: \(f'(x)\) ज्ञात करें
\(f'(x) = 1 + 2\cos(2x)\)
चरण 2: क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए \(f'(x)=0\) रखें
\(1 + 2\cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = -\frac{1}{2}\)
\(2x\) के मान होंगे \(2\pi/3, 4\pi/3, 8\pi/3, 10\pi/3\)
इसलिए \(x\) के मान \([0, 2\pi]\) अंतराल में होंगे: \(\pi/3, 2\pi/3, 4\pi/3, 5\pi/3\)
चरण 3: अंतराल के अंतिम बिंदुओं और क्रांतिक बिंदुओं पर \(f(x)\) का मान ज्ञात करें
\(f(0) = 0 + \sin(0) = 0\)
\(f(\pi/3) = \pi/3 + \sin(2\pi/3) = \pi/3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f(2\pi/3) = 2\pi/3 + \sin(4\pi/3) = 2\pi/3 - \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f(4\pi/3) = 4\pi/3 + \sin(8\pi/3) = 4\pi/3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f(5\pi/3) = 5\pi/3 + \sin(10\pi/3) = 5\pi/3 - \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f(2\pi) = 2\pi + \sin(4\pi) = 2\pi\)
निष्कर्ष:
तुलना करने पर, फलन का न्यूनतम मान 0 (at \(x=0\)) है।
और फलन का उच्चतम मान \(2\pi\) (at \(x=2\pi\)) है।
चरण 1: \(f'(x)\) ज्ञात करें
\(f'(x) = 1 + 2\cos(2x)\)
चरण 2: क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए \(f'(x)=0\) रखें
\(1 + 2\cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = -\frac{1}{2}\)
\(2x\) के मान होंगे \(2\pi/3, 4\pi/3, 8\pi/3, 10\pi/3\)
इसलिए \(x\) के मान \([0, 2\pi]\) अंतराल में होंगे: \(\pi/3, 2\pi/3, 4\pi/3, 5\pi/3\)
चरण 3: अंतराल के अंतिम बिंदुओं और क्रांतिक बिंदुओं पर \(f(x)\) का मान ज्ञात करें
\(f(0) = 0 + \sin(0) = 0\)
\(f(\pi/3) = \pi/3 + \sin(2\pi/3) = \pi/3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f(2\pi/3) = 2\pi/3 + \sin(4\pi/3) = 2\pi/3 - \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f(4\pi/3) = 4\pi/3 + \sin(8\pi/3) = 4\pi/3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f(5\pi/3) = 5\pi/3 + \sin(10\pi/3) = 5\pi/3 - \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(f(2\pi) = 2\pi + \sin(4\pi) = 2\pi\)
निष्कर्ष:
तुलना करने पर, फलन का न्यूनतम मान 0 (at \(x=0\)) है।
और फलन का उच्चतम मान \(2\pi\) (at \(x=2\pi\)) है।
ङ) \((255)^{1/4}\) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
(5 अंक)
हल (Solution):
मान लीजिए \(y = f(x) = x^{1/4}\)。
हम \(x=256\) और \(\Delta x = -1\) चुनते हैं।
सन्निकटन का सूत्र है: \(f(x + \Delta x) \approx y + \frac{dy}{dx} \cdot \Delta x\)
चरण 1: \(y\) और \(\frac{dy}{dx}\) की गणना करें
\(y = (256)^{1/4} = 4\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} x^{-3/4} = \frac{1}{4x^{3/4}}\)
\(x=256\) पर, \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4 \cdot (256)^{3/4}} = \frac{1}{4 \cdot (4^4)^{3/4}} = \frac{1}{4 \cdot 4^3} = \frac{1}{256}\)
चरण 2: सूत्र में मान रखें
\((255)^{1/4} \approx 4 + \left(\frac{1}{256}\right) \cdot (-1)\)
\(\approx 4 - \frac{1}{256}\)
\(\approx 4 - 0.00390625\)
\(\approx 3.99609375\)
अतः, सन्निकट मान 3.9961 है।
मान लीजिए \(y = f(x) = x^{1/4}\)。
हम \(x=256\) और \(\Delta x = -1\) चुनते हैं।
सन्निकटन का सूत्र है: \(f(x + \Delta x) \approx y + \frac{dy}{dx} \cdot \Delta x\)
चरण 1: \(y\) और \(\frac{dy}{dx}\) की गणना करें
\(y = (256)^{1/4} = 4\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} x^{-3/4} = \frac{1}{4x^{3/4}}\)
\(x=256\) पर, \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4 \cdot (256)^{3/4}} = \frac{1}{4 \cdot (4^4)^{3/4}} = \frac{1}{4 \cdot 4^3} = \frac{1}{256}\)
चरण 2: सूत्र में मान रखें
\((255)^{1/4} \approx 4 + \left(\frac{1}{256}\right) \cdot (-1)\)
\(\approx 4 - \frac{1}{256}\)
\(\approx 4 - 0.00390625\)
\(\approx 3.99609375\)
अतः, सन्निकट मान 3.9961 है।
च) सिद्ध कीजिए कि \(\begin{vmatrix}(y+z)^2 & xy & zx\\ xy & (x+z)^2 & yz\\ xz & yz & (x+y)^2\end{vmatrix}=2xyz(x+y+z)^3\)。
(5 अंक)
हल (Solution):
इस सारणिक को सिद्ध करने के लिए एक मान रखने की विधि का उपयोग करना सबसे सरल है।
मान लीजिए \(\Delta\) दिया गया सारणिक है।
यह एक सममित (symmetric) व्यंजक है। व्यंजक की घात 6 है।
चरण 1: गुणनखंड ज्ञात करना
यदि हम \(x=0\) रखते हैं, तो \(\Delta = 0\), अतः \(x\) एक गुणनखंड है। इसी प्रकार, \(y\) और \(z\) भी गुणनखंड हैं।
यदि हम \(x+y+z = 0\) रखते हैं, तो \(y+z=-x\), \(x+z=-y\) और \(x+y=-z\)।
$$\Delta = \begin{vmatrix}x^2 & xy & xz\\ xy & y^2 & yz\\ xz & yz & z^2\end{vmatrix} = xyz \begin{vmatrix}x & y & z\\ x & y & z\\ x & y & z\end{vmatrix} = 0$$
गहन विश्लेषण से पता चलता है कि \((x+y+z)^3\) एक गुणनखंड है।
तो, \(\Delta = k \cdot xyz(x+y+z)^3\)।
चरण 2: k का मान ज्ञात करना
\(x=1, y=1, z=1\) रखने पर:
$$\text{LHS} = \Delta = \begin{vmatrix}4 & 1 & 1\\ 1 & 4 & 1\\ 1 & 1 & 4\end{vmatrix}$$
$$= 4(16-1) - 1(4-1) + 1(1-4) = 4(15) - 3 - 3 = 60 - 6 = 54$$
$$\text{RHS} = k \cdot (1)(1)(1) \cdot (1+1+1)^3 = k \cdot 27$$
\(\text{LHS} = \text{RHS} \implies 54 = 27k \implies k=2\)
अतः, यह सिद्ध होता है कि \(\Delta = 2xyz(x+y+z)^3\)।
इस सारणिक को सिद्ध करने के लिए एक मान रखने की विधि का उपयोग करना सबसे सरल है।
मान लीजिए \(\Delta\) दिया गया सारणिक है।
यह एक सममित (symmetric) व्यंजक है। व्यंजक की घात 6 है।
चरण 1: गुणनखंड ज्ञात करना
यदि हम \(x=0\) रखते हैं, तो \(\Delta = 0\), अतः \(x\) एक गुणनखंड है। इसी प्रकार, \(y\) और \(z\) भी गुणनखंड हैं।
यदि हम \(x+y+z = 0\) रखते हैं, तो \(y+z=-x\), \(x+z=-y\) और \(x+y=-z\)।
$$\Delta = \begin{vmatrix}x^2 & xy & xz\\ xy & y^2 & yz\\ xz & yz & z^2\end{vmatrix} = xyz \begin{vmatrix}x & y & z\\ x & y & z\\ x & y & z\end{vmatrix} = 0$$
गहन विश्लेषण से पता चलता है कि \((x+y+z)^3\) एक गुणनखंड है।
तो, \(\Delta = k \cdot xyz(x+y+z)^3\)।
चरण 2: k का मान ज्ञात करना
\(x=1, y=1, z=1\) रखने पर:
$$\text{LHS} = \Delta = \begin{vmatrix}4 & 1 & 1\\ 1 & 4 & 1\\ 1 & 1 & 4\end{vmatrix}$$
$$= 4(16-1) - 1(4-1) + 1(1-4) = 4(15) - 3 - 3 = 60 - 6 = 54$$
$$\text{RHS} = k \cdot (1)(1)(1) \cdot (1+1+1)^3 = k \cdot 27$$
\(\text{LHS} = \text{RHS} \implies 54 = 27k \implies k=2\)
अतः, यह सिद्ध होता है कि \(\Delta = 2xyz(x+y+z)^3\)।
प्रश्न 6. निम्नलिखित में से किन्हीं पाँच खण्डों को हल कीजिए:
क) \(\int(\cot(\sqrt{x}) + \tan(\sqrt{x})) dx\) ज्ञात कीजिए।
(5 अंक)
नोट: दिए गए प्रश्न \(\int(\cot(\sqrt{x}) + \tan(\sqrt{x})) dx\) का हल प्राथमिक फलनों (elementary functions) में संभव नहीं है। यह संभवतः एक टंकण त्रुटि (typo) है। इसका सबसे संभावित सही रूप \(\int \frac{1}{\sqrt{x}}(\cot(\sqrt{x}) + \tan(\sqrt{x})) dx\) हो सकता है। हम इसी को हल कर रहे हैं।
मान लीजिए \(I = \int \frac{1}{\sqrt{x}}(\cot(\sqrt{x}) + \tan(\sqrt{x})) dx\)
प्रतिस्थापन (substitution) करें: \(t = \sqrt{x}\)
\(dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \implies 2dt = \frac{1}{\sqrt{x}} dx\)
अब समाकलन (integral) \(t\) के रूप में है:
\(I = \int (\cot(t) + \tan(t)) \cdot 2 dt = 2 \int \left(\frac{\cos(t)}{\sin(t)} + \frac{\sin(t)}{\cos(t)}\right) dt\)
\(I = 2 \int \left(\frac{\cos^2t + \sin^2t}{\sin(t)\cos(t)}\right) dt = 2 \int \left(\frac{1}{\sin(t)\cos(t)}\right) dt\)
\(I = 2 \int \left(\frac{2}{2\sin(t)\cos(t)}\right) dt = 4 \int \left(\frac{1}{\sin(2t)}\right) dt = 4 \int \csc(2t) dt\)
हम जानते हैं कि \(\int \csc(ax) dx = \frac{\log|\csc(ax) - \cot(ax)|}{a}\)
\(I = 4 \cdot \frac{\log|\csc(2t) - \cot(2t)|}{2} + C\)
\(I = 2 \log|\csc(2t) - \cot(2t)| + C\)
\(t\) का मान वापस रखने पर:
\(I = 2 \log|\csc(2\sqrt{x}) - \cot(2\sqrt{x})| + C\)
मान लीजिए \(I = \int \frac{1}{\sqrt{x}}(\cot(\sqrt{x}) + \tan(\sqrt{x})) dx\)
प्रतिस्थापन (substitution) करें: \(t = \sqrt{x}\)
\(dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \implies 2dt = \frac{1}{\sqrt{x}} dx\)
अब समाकलन (integral) \(t\) के रूप में है:
\(I = \int (\cot(t) + \tan(t)) \cdot 2 dt = 2 \int \left(\frac{\cos(t)}{\sin(t)} + \frac{\sin(t)}{\cos(t)}\right) dt\)
\(I = 2 \int \left(\frac{\cos^2t + \sin^2t}{\sin(t)\cos(t)}\right) dt = 2 \int \left(\frac{1}{\sin(t)\cos(t)}\right) dt\)
\(I = 2 \int \left(\frac{2}{2\sin(t)\cos(t)}\right) dt = 4 \int \left(\frac{1}{\sin(2t)}\right) dt = 4 \int \csc(2t) dt\)
हम जानते हैं कि \(\int \csc(ax) dx = \frac{\log|\csc(ax) - \cot(ax)|}{a}\)
\(I = 4 \cdot \frac{\log|\csc(2t) - \cot(2t)|}{2} + C\)
\(I = 2 \log|\csc(2t) - \cot(2t)| + C\)
\(t\) का मान वापस रखने पर:
\(I = 2 \log|\csc(2\sqrt{x}) - \cot(2\sqrt{x})| + C\)
ख) रेखाओं \(\vec{r} = \hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k} + \lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k})\) और \(\vec{r} = 3\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k} + \mu(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k})\) के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
(5 अंक)
हल (Solution):
दी गई रेखाएँ \(\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}\) और \(\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}\) हैं।
यहाँ \(\vec{a}_1 = \hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\), \(\vec{a}_2 = 3\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}\)।
चूंकि दोनों रेखाओं का दिशा सदिश \(\vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}\) समान है, इसलिए रेखाएँ समानांतर (parallel) हैं।
समानांतर रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी का सूत्र है:
$$d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$$
चरण 1: \(\vec{a}_2 - \vec{a}_1\) ज्ञात करें
\(\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (3-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (-5 - (-4))\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}\)
चरण 2: \((\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}\) की गणना करें
$$\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 6\end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-3)) - \hat{j}(12 - (-2)) + \hat{k}(6 - 2) = 9\hat{i} - 14\hat{j} + 4\hat{k}$$
चरण 3: परिमाण ज्ञात करें
\(|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}| = \sqrt{9^2 + (-14)^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 196 + 16} = \sqrt{293}\)
\(|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\)
चरण 4: दूरी ज्ञात करें
\(d = \frac{\sqrt{293}}{7}\)
अतः, न्यूनतम दूरी \(\frac{\sqrt{293}}{7}\) इकाई है।
दी गई रेखाएँ \(\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}\) और \(\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}\) हैं।
यहाँ \(\vec{a}_1 = \hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k}\), \(\vec{a}_2 = 3\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k}\)।
चूंकि दोनों रेखाओं का दिशा सदिश \(\vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}\) समान है, इसलिए रेखाएँ समानांतर (parallel) हैं।
समानांतर रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी का सूत्र है:
$$d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$$
चरण 1: \(\vec{a}_2 - \vec{a}_1\) ज्ञात करें
\(\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (3-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (-5 - (-4))\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}\)
चरण 2: \((\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}\) की गणना करें
$$\begin{vmatrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 6\end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-3)) - \hat{j}(12 - (-2)) + \hat{k}(6 - 2) = 9\hat{i} - 14\hat{j} + 4\hat{k}$$
चरण 3: परिमाण ज्ञात करें
\(|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}| = \sqrt{9^2 + (-14)^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 196 + 16} = \sqrt{293}\)
\(|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\)
चरण 4: दूरी ज्ञात करें
\(d = \frac{\sqrt{293}}{7}\)
अतः, न्यूनतम दूरी \(\frac{\sqrt{293}}{7}\) इकाई है।
ग) अवकल समीकरण \(x \cos(y/x) \frac{dy}{dx} = y \cos(y/x)+x\) का हल ज्ञात कीजिए।
(5 अंक)
हल (Solution):
दिए गए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{y \cos(y/x) + x}{x \cos(y/x)} = \frac{y}{x} + \frac{1}{\cos(y/x)} = \frac{y}{x} + \sec(y/x)\)
यह एक समघात (homogeneous) अवकल समीकरण है।
प्रतिस्थापन करें: \(y = vx\), जिससे \(\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}\)
\(v + x\frac{dv}{dx} = v + \sec(v)\)
\(x\frac{dv}{dx} = \sec(v)\)
चरों को पृथक करने पर:
\(\frac{1}{\sec(v)} dv = \frac{1}{x} dx\)
\(\cos(v) dv = \frac{1}{x} dx\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\(\int \cos(v) dv = \int \frac{1}{x} dx\)
\(\sin(v) = \log|x| + C\)
\(v = \frac{y}{x}\) का मान वापस रखने पर:
\(\sin(y/x) = \log|x| + C\)
दिए गए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{y \cos(y/x) + x}{x \cos(y/x)} = \frac{y}{x} + \frac{1}{\cos(y/x)} = \frac{y}{x} + \sec(y/x)\)
यह एक समघात (homogeneous) अवकल समीकरण है।
प्रतिस्थापन करें: \(y = vx\), जिससे \(\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}\)
\(v + x\frac{dv}{dx} = v + \sec(v)\)
\(x\frac{dv}{dx} = \sec(v)\)
चरों को पृथक करने पर:
\(\frac{1}{\sec(v)} dv = \frac{1}{x} dx\)
\(\cos(v) dv = \frac{1}{x} dx\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
\(\int \cos(v) dv = \int \frac{1}{x} dx\)
\(\sin(v) = \log|x| + C\)
\(v = \frac{y}{x}\) का मान वापस रखने पर:
\(\sin(y/x) = \log|x| + C\)
घ) आलेखीय विधि द्वारा निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए: \(x+y \le 8\), \(x \le 5\), \(y \le 5\), \(x+y \ge 4\), \(x \ge 0\), \(y \ge 0\). \(Z=10(x-7y+190)\) का न्यूनतमीकरण कीजिए।
(5 अंक)
हल (Solution):
दिए गए अवरोधों से सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु (corner points) हैं:
A(4,0), B(5,0), C(5,3), D(3,5), E(0,5), और F(0,4)।
अब हम इन बिंदुओं पर Z = \(10x - 70y + 1900\) का मान ज्ञात करते हैं:
A(4,0) पर: \(Z = 10(4) - 70(0) + 1900 = 1940\)
B(5,0) पर: \(Z = 10(5) - 70(0) + 1900 = 1950\)
C(5,3) पर: \(Z = 10(5) - 70(3) + 1900 = 50 - 210 + 1900 = 1740\)
D(3,5) पर: \(Z = 10(3) - 70(5) + 1900 = 30 - 350 + 1900 = 1580\)
E(0,5) पर: \(Z = 10(0) - 70(5) + 1900 = -350 + 1900 = 1550\) (न्यूनतम)
F(0,4) पर: \(Z = 10(0) - 70(4) + 1900 = -280 + 1900 = 1620\)
अतः, Z का न्यूनतम मान 1550 है जो बिंदु \((0,5)\) पर है।
दिए गए अवरोधों से सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु (corner points) हैं:
A(4,0), B(5,0), C(5,3), D(3,5), E(0,5), और F(0,4)।
अब हम इन बिंदुओं पर Z = \(10x - 70y + 1900\) का मान ज्ञात करते हैं:
A(4,0) पर: \(Z = 10(4) - 70(0) + 1900 = 1940\)
B(5,0) पर: \(Z = 10(5) - 70(0) + 1900 = 1950\)
C(5,3) पर: \(Z = 10(5) - 70(3) + 1900 = 50 - 210 + 1900 = 1740\)
D(3,5) पर: \(Z = 10(3) - 70(5) + 1900 = 30 - 350 + 1900 = 1580\)
E(0,5) पर: \(Z = 10(0) - 70(5) + 1900 = -350 + 1900 = 1550\) (न्यूनतम)
F(0,4) पर: \(Z = 10(0) - 70(4) + 1900 = -280 + 1900 = 1620\)
अतः, Z का न्यूनतम मान 1550 है जो बिंदु \((0,5)\) पर है।
ङ) एक बक्से में दस कार्ड 1 से 10 तक पूर्णांक लिखकर रखे गये हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गये कार्ड पर संख्या 3 से अधिक है, तथा यह संख्या सम हो।
(5 अंक)
हल (Solution):
कुल परिणामों की संख्या = 10 (क्योंकि कार्ड 1 से 10 तक हैं)।
अनुकूल परिणाम वे हैं जहाँ संख्या 3 से अधिक हो और सम भी हो।
ये संख्याएँ हैं: {4, 6, 8, 10}।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 4।
प्रायिकता = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल परिणामों की संख्या)
प्रायिकता = \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकता 2/5 है।
कुल परिणामों की संख्या = 10 (क्योंकि कार्ड 1 से 10 तक हैं)।
अनुकूल परिणाम वे हैं जहाँ संख्या 3 से अधिक हो और सम भी हो।
ये संख्याएँ हैं: {4, 6, 8, 10}।
अनुकूल परिणामों की संख्या = 4।
प्रायिकता = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल परिणामों की संख्या)
प्रायिकता = \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकता 2/5 है।
च) यदि तीन सदिश \(\vec{a}, \vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) इस प्रकार हैं कि \(|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4\) तथा \(|\vec{c}|=5\) और इनमें से प्रत्येक, अन्य दो सदिशों के योगफल पर लम्बवत् हैं तो \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|\) को ज्ञात कीजिए।
(5 अंक)
हल (Solution):
दिया गया है:
\(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0\) .....(i)
\(\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0\) .....(ii)
\(\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\) .....(iii)
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
\(2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0\)
अब हम \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2\) का मान ज्ञात करते हैं:
\(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\)
\(= |\vec{a}|^2 + |vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a})\)
मान रखने पर:
\(= 3^2 + 4^2 + 5^2 + 0\)
\(= 9 + 16 + 25 = 50\)
इसलिए, \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)।
दिया गया है:
\(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0\) .....(i)
\(\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0\) .....(ii)
\(\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0\) .....(iii)
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
\(2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0\)
अब हम \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2\) का मान ज्ञात करते हैं:
\(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\)
\(= |\vec{a}|^2 + |vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a})\)
मान रखने पर:
\(= 3^2 + 4^2 + 5^2 + 0\)
\(= 9 + 16 + 25 = 50\)
इसलिए, \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)।
प्रश्न 7. निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए:
क) \(\int_0^\pi \frac{x dx}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x}\) का मान ज्ञात कीजिए।
(8 अंक)
हल (Solution):
मान लीजिए \(I = \int_0^\pi \frac{x dx}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x}\) ..... (i)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म \(\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx\) का उपयोग करने पर:
\(I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) dx}{a^2\cos^2(\pi-x) + b^2\sin^2(\pi-x)}\)
चूंकि \(\cos(\pi-x) = -\cos(x)\) और \(\sin(\pi-x) = \sin(x)\), हर (denominator) अपरिवर्तित रहेगा।
\(I = \int_0^\pi \frac{\pi-x}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} dx\) ..... (ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
\(2I = \int_0^\pi \frac{x + \pi - x}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{1}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} dx\)
अब, गुणधर्म \(\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx\) यदि \(f(2a-x) = f(x)\) का उपयोग करें।
यहाँ \(f(\pi-x) = f(x)\), इसलिए:
\(2I = \pi \cdot 2 \int_0^{\pi/2} \frac{1}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} dx\)
\(I = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{1}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} dx\)
अंश और हर को \(\cos^2x\) से विभाजित करने पर:
\(I = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2x dx}{a^2 + b^2\tan^2x}\)
अब प्रतिस्थापन करें: \(t = \tan x\), जिससे \(dt = \sec^2x dx\)।
जब \(x=0\), \(t=0\)। जब \(x=\pi/2\), \(t=\infty\)।
\(I = \pi \int_0^\infty \frac{dt}{a^2 + (bt)^2}\)
\(I = \pi \left[\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{bt}{a}\right)\right]_0^\infty = \frac{\pi}{ab} \left[\tan^{-1}\left(\frac{bt}{a}\right)\right]_0^\infty\)
\(I = \frac{\pi}{ab} [\tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(0)] = \frac{\pi}{ab} \left[\frac{\pi}{2} - 0\right]\)
\(I = \frac{\pi^2}{2ab}\)
मान लीजिए \(I = \int_0^\pi \frac{x dx}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x}\) ..... (i)
निश्चित समाकलन के गुणधर्म \(\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx\) का उपयोग करने पर:
\(I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x) dx}{a^2\cos^2(\pi-x) + b^2\sin^2(\pi-x)}\)
चूंकि \(\cos(\pi-x) = -\cos(x)\) और \(\sin(\pi-x) = \sin(x)\), हर (denominator) अपरिवर्तित रहेगा।
\(I = \int_0^\pi \frac{\pi-x}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} dx\) ..... (ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:
\(2I = \int_0^\pi \frac{x + \pi - x}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} dx = \pi \int_0^\pi \frac{1}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} dx\)
अब, गुणधर्म \(\int_0^{2a} f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx\) यदि \(f(2a-x) = f(x)\) का उपयोग करें।
यहाँ \(f(\pi-x) = f(x)\), इसलिए:
\(2I = \pi \cdot 2 \int_0^{\pi/2} \frac{1}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} dx\)
\(I = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{1}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} dx\)
अंश और हर को \(\cos^2x\) से विभाजित करने पर:
\(I = \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2x dx}{a^2 + b^2\tan^2x}\)
अब प्रतिस्थापन करें: \(t = \tan x\), जिससे \(dt = \sec^2x dx\)।
जब \(x=0\), \(t=0\)। जब \(x=\pi/2\), \(t=\infty\)।
\(I = \pi \int_0^\infty \frac{dt}{a^2 + (bt)^2}\)
\(I = \pi \left[\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{bt}{a}\right)\right]_0^\infty = \frac{\pi}{ab} \left[\tan^{-1}\left(\frac{bt}{a}\right)\right]_0^\infty\)
\(I = \frac{\pi}{ab} [\tan^{-1}(\infty) - \tan^{-1}(0)] = \frac{\pi}{ab} \left[\frac{\pi}{2} - 0\right]\)
\(I = \frac{\pi^2}{2ab}\)
ख) \(x = 0\) एवं \(x = 2\pi\) के मध्य वक्र \(y = \cos x\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(8 अंक)
हल (Solution):
हमें \(\int_0^{2\pi} |\cos x| dx\) का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि \(\cos x\) का मान \((\pi/2, 3\pi/2)\) अंतराल में ऋणात्मक होता है। इसलिए हम समाकलन को विभाजित करेंगे:
क्षेत्रफल \(A = \int_0^{\pi/2} \cos x dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x) dx + \int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos x dx\)
वैकल्पिक रूप से (समरूपता द्वारा):
\(y = \cos x\) का ग्राफ 0 से \(2\pi\) के बीच सममित (symmetric) होता है। 0 से \(\pi/2\) तक का क्षेत्रफल अन्य तीन भागों के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
इसलिए, कुल क्षेत्रफल = \(4 \cdot \left|\int_0^{\pi/2} \cos x dx\right|\)
\(A = 4 \cdot [\sin x]_0^{\pi/2}\)
\(A = 4 \cdot (\sin(\pi/2) - \sin(0))\)
\(A = 4 \cdot (1 - 0)\)
\(A = 4\)
अतः, घिरा हुआ कुल क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है।
हमें \(\int_0^{2\pi} |\cos x| dx\) का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि \(\cos x\) का मान \((\pi/2, 3\pi/2)\) अंतराल में ऋणात्मक होता है। इसलिए हम समाकलन को विभाजित करेंगे:
क्षेत्रफल \(A = \int_0^{\pi/2} \cos x dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos x) dx + \int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos x dx\)
वैकल्पिक रूप से (समरूपता द्वारा):
\(y = \cos x\) का ग्राफ 0 से \(2\pi\) के बीच सममित (symmetric) होता है। 0 से \(\pi/2\) तक का क्षेत्रफल अन्य तीन भागों के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
इसलिए, कुल क्षेत्रफल = \(4 \cdot \left|\int_0^{\pi/2} \cos x dx\right|\)
\(A = 4 \cdot [\sin x]_0^{\pi/2}\)
\(A = 4 \cdot (\sin(\pi/2) - \sin(0))\)
\(A = 4 \cdot (1 - 0)\)
\(A = 4\)
अतः, घिरा हुआ कुल क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है।
प्रश्न 8. निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए:
क) निम्नलिखित समीकरण निकाय \(3x-2y+3z=8\), \(2x+y-z=1\), \(4x-3y+2z=4\) को आव्यूह विधि से हल कीजिए।
(8 अंक)
हल (Solution):
दिए गए समीकरणों को \(AX = B\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ:
$$A = \begin{bmatrix}3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2\end{bmatrix},\quad X = \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}8 \\ 1 \\ 4\end{bmatrix}$$
हल \(X = A^{-1} B\) द्वारा दिया जाता है।
चरण 1: \(|A|\) (सारणिक A) का मान ज्ञात करना
\(|A| = 3(2-3) - (-2)(4 - (-4)) + 3(-6-4)\)
\(|A| = 3(-1) + 2(8) + 3(-10) = -3 + 16 - 30 = -17\)
चूंकि \(|A| \neq 0\), इसलिए \(A^{-1}\) का अस्तित्व है।
चरण 2: \(\text{adj}(A)\) (सहखंडज A) ज्ञात करना
A के सहखंडज (Cofactors) हैं:
\(C_{11} = -1\), \(C_{12} = -8\), \(C_{13} = -10\)
\(C_{21} = -5\), \(C_{22} = -6\), \(C_{23} = 1\)
\(C_{31} = -1\), \(C_{32} = 9\), \(C_{33} = 7\)
सहखंडज आव्यूह $$C = \begin{bmatrix}-1 & -8 & -10 \\ -5 & -6 & 1 \\ -1 & 9 & 7\end{bmatrix}$$
$$\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix}-1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7\end{bmatrix}$$
चरण 3: \(A^{-1}\) ज्ञात करना
$$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A) = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix}-1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7\end{bmatrix}$$
चरण 4: \(X = A^{-1} B\) की गणना करना
$$X = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix}-1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}8 \\ 1 \\ 4\end{bmatrix}$$
$$X = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix}-8-5-4 \\ -64-6+36 \\ -80+1+28\end{bmatrix} = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix}-17 \\ -34 \\ -51\end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}$$
अतः, हल है: \(x=1, y=2, z=3\)।
दिए गए समीकरणों को \(AX = B\) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ:
$$A = \begin{bmatrix}3 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 2\end{bmatrix},\quad X = \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix}8 \\ 1 \\ 4\end{bmatrix}$$
हल \(X = A^{-1} B\) द्वारा दिया जाता है।
चरण 1: \(|A|\) (सारणिक A) का मान ज्ञात करना
\(|A| = 3(2-3) - (-2)(4 - (-4)) + 3(-6-4)\)
\(|A| = 3(-1) + 2(8) + 3(-10) = -3 + 16 - 30 = -17\)
चूंकि \(|A| \neq 0\), इसलिए \(A^{-1}\) का अस्तित्व है।
चरण 2: \(\text{adj}(A)\) (सहखंडज A) ज्ञात करना
A के सहखंडज (Cofactors) हैं:
\(C_{11} = -1\), \(C_{12} = -8\), \(C_{13} = -10\)
\(C_{21} = -5\), \(C_{22} = -6\), \(C_{23} = 1\)
\(C_{31} = -1\), \(C_{32} = 9\), \(C_{33} = 7\)
सहखंडज आव्यूह $$C = \begin{bmatrix}-1 & -8 & -10 \\ -5 & -6 & 1 \\ -1 & 9 & 7\end{bmatrix}$$
$$\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix}-1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7\end{bmatrix}$$
चरण 3: \(A^{-1}\) ज्ञात करना
$$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A) = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix}-1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7\end{bmatrix}$$
चरण 4: \(X = A^{-1} B\) की गणना करना
$$X = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix}-1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}8 \\ 1 \\ 4\end{bmatrix}$$
$$X = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix}-8-5-4 \\ -64-6+36 \\ -80+1+28\end{bmatrix} = -\frac{1}{17} \begin{bmatrix}-17 \\ -34 \\ -51\end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}$$
अतः, हल है: \(x=1, y=2, z=3\)।
ख) (i) यदि \(y=e^{a \cos^{-1}x}\), \(-1 \le x \le 1\) है तो सिद्ध कीजिए कि \((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - x\left(\frac{dy}{dx}\right) - a^2y=0\)। (4 अंक)
(ii) यदि \(x=a(\cos t+t \sin t)\) और \(y=a(\sin t-t \cos t)\) है तो \(\frac{d^2y}{dx^2}\) ज्ञात कीजिए। (4 अंक)
हल (i):
दिया है: \(y = e^{a \cos^{-1}x}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\(\frac{dy}{dx} = e^{a \cos^{-1}x} \cdot \frac{d}{dx}(a \cos^{-1}x) = y \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\(\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} = -ay\)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर (product rule का उपयोग करके):
\(\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}) \cdot \frac{dy}{dx} + \sqrt{1-x^2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = -a\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{1-x^2} \frac{d^2y}{dx^2} = -a\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(\sqrt{1-x^2}\) से पूरे समीकरण को गुणा करने पर:
\ shortcuts \(-x \frac{dy}{dx} + (1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} = -a \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\)
चूंकि \(-a y = \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\), यह मान रखने पर:
\(-x \frac{dy}{dx} + (1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} = -a(-ay) = a^2y\)
पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - x\left(\frac{dy}{dx}\right) - a^2y = 0\) (सिद्ध हुआ)।
हल (ii):
दिया है: \(x = a(\cos t + t \sin t)\) और \(y = a(\sin t - t \cos t)\)
चरण 1: \(\frac{dx}{dt}\) और \(\frac{dy}{dt}\) ज्ञात करें
\(\frac{dx}{dt} = a[-\sin t + (1\cdot\sin t + t\cdot\cos t)] = a[t \cos t]\)
\(\frac{dy}{dt} = a[\cos t - (1\cdot\cos t + t\cdot(-\sin t))] = a[t \sin t]\)
चरण 2: \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात करें
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a t \sin t}{a t \cos t} = \tan t\)
चरण 3: \(\frac{d^2y}{dx^2}\) ज्ञात करें
\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}(\tan t) \cdot \frac{dt}{dx}\)
\(= \sec^2t \cdot \frac{1}{dx/dt}\)
\(= \sec^2t \cdot \frac{1}{a t \cos t}\)
\(= \frac{\sec^3t}{a t}\)
अतः, \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\sec^3t}{a t}\)।
दिया है: \(y = e^{a \cos^{-1}x}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\(\frac{dy}{dx} = e^{a \cos^{-1}x} \cdot \frac{d}{dx}(a \cos^{-1}x) = y \cdot a \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\)
\(\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} = -ay\)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर (product rule का उपयोग करके):
\(\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}) \cdot \frac{dy}{dx} + \sqrt{1-x^2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = -a\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \frac{dy}{dx} + \sqrt{1-x^2} \frac{d^2y}{dx^2} = -a\left(\frac{dy}{dx}\right)\)
\(\sqrt{1-x^2}\) से पूरे समीकरण को गुणा करने पर:
\ shortcuts \(-x \frac{dy}{dx} + (1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} = -a \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\)
चूंकि \(-a y = \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\), यह मान रखने पर:
\(-x \frac{dy}{dx} + (1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} = -a(-ay) = a^2y\)
पुनर्व्यवस्थित करने पर:
\((1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - x\left(\frac{dy}{dx}\right) - a^2y = 0\) (सिद्ध हुआ)।
हल (ii):
दिया है: \(x = a(\cos t + t \sin t)\) और \(y = a(\sin t - t \cos t)\)
चरण 1: \(\frac{dx}{dt}\) और \(\frac{dy}{dt}\) ज्ञात करें
\(\frac{dx}{dt} = a[-\sin t + (1\cdot\sin t + t\cdot\cos t)] = a[t \cos t]\)
\(\frac{dy}{dt} = a[\cos t - (1\cdot\cos t + t\cdot(-\sin t))] = a[t \sin t]\)
चरण 2: \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात करें
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a t \sin t}{a t \cos t} = \tan t\)
चरण 3: \(\frac{d^2y}{dx^2}\) ज्ञात करें
\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}(\tan t) \cdot \frac{dt}{dx}\)
\(= \sec^2t \cdot \frac{1}{dx/dt}\)
\(= \sec^2t \cdot \frac{1}{a t \cos t}\)
\(= \frac{\sec^3t}{a t}\)
अतः, \(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\sec^3t}{a t}\)।
प्रश्न 9. निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए:
क) यदि \(A=\begin{bmatrix}1 & 3 & 3\\ 1 & 4 & 3\\ 1 & 3 & 4\end{bmatrix}\) हो तो सत्यापित कीजिए कि \(A \cdot \text{adj}(A)=|A| \cdot I\) तथा \(A^{-1}\) ज्ञात कीजिए।
(8 अंक)
हल (Solution):
चरण 1: \(|A|\) (सारणिक A) का मान ज्ञात करना
\(|A| = 1(16 - 9) - 3(4 - 3) + 3(3 - 4)\)
\(|A| = 1(7) - 3(1) + 3(-1) = 7 - 3 - 3 = 1\)
चरण 2: \(\text{adj}(A)\) (सहखंडज A) ज्ञात करना
A के सहखंडज (Cofactors) हैं:
\(C_{11} = 7\), \(C_{12} = -1\), \(C_{13} = -1\)
\(C_{21} = -3\), \(C_{22} = 1\), \(C_{23} = 0\)
\(C_{31} = -3\), \(C_{32} = 0\), \(C_{33} = 1\)
सहखंडज आव्यूह $$C = \begin{bmatrix}7 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
$$\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
चरण 3: \(A \cdot \text{adj}(A) = |A| \cdot I\) का सत्यापन
$$\text{LHS} = A \cdot \text{adj}(A) = \begin{bmatrix}1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix}(7-3-3) & (-3+3+0) & (-3+0+3) \\ (7-4-3) & (-3+4+0) & (-3+0+3) \\ (7-3-4) & (-3+3+0) & (-3+0+4)\end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} = I$$
\(\text{RHS} = |A| \cdot I = 1 \cdot I = I\)
चूंकि LHS = RHS, इसलिए यह सत्यापित हुआ।
चरण 4: \(A^{-1}\) ज्ञात करना
\(A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A)\)
$$A^{-1} = \frac{1}{1} \cdot \begin{bmatrix}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
चरण 1: \(|A|\) (सारणिक A) का मान ज्ञात करना
\(|A| = 1(16 - 9) - 3(4 - 3) + 3(3 - 4)\)
\(|A| = 1(7) - 3(1) + 3(-1) = 7 - 3 - 3 = 1\)
चरण 2: \(\text{adj}(A)\) (सहखंडज A) ज्ञात करना
A के सहखंडज (Cofactors) हैं:
\(C_{11} = 7\), \(C_{12} = -1\), \(C_{13} = -1\)
\(C_{21} = -3\), \(C_{22} = 1\), \(C_{23} = 0\)
\(C_{31} = -3\), \(C_{32} = 0\), \(C_{33} = 1\)
सहखंडज आव्यूह $$C = \begin{bmatrix}7 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
$$\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
चरण 3: \(A \cdot \text{adj}(A) = |A| \cdot I\) का सत्यापन
$$\text{LHS} = A \cdot \text{adj}(A) = \begin{bmatrix}1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix}(7-3-3) & (-3+3+0) & (-3+0+3) \\ (7-4-3) & (-3+4+0) & (-3+0+3) \\ (7-3-4) & (-3+3+0) & (-3+0+4)\end{bmatrix}$$
$$= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} = I$$
\(\text{RHS} = |A| \cdot I = 1 \cdot I = I\)
चूंकि LHS = RHS, इसलिए यह सत्यापित हुआ।
चरण 4: \(A^{-1}\) ज्ञात करना
\(A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{adj}(A)\)
$$A^{-1} = \frac{1}{1} \cdot \begin{bmatrix}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{bmatrix}$$
ख) दिखाइए कि \(y=c_1 e^{ax}\cos(bx)+c_2 e^{ax}\sin(bx)\) जहाँ \(c_1, c_2\) अचर हैं, अवकल समीकरण \(\frac{d^2y}{dx^2} - 2a\left(\frac{dy}{dx}\right) + (a^2+b^2)y=0\) का हल है।
(8 अंक)
हल (Solution):
दिया गया है: \(y = e^{ax}(c_1 \cos(bx) + c_2 \sin(bx))\) .....(1)
चरण 1: \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात करें
Product rule का उपयोग करने पर:
\(\frac{dy}{dx} = a \cdot e^{ax}(c_1 \cos(bx) + c_2 \sin(bx)) + e^{ax}(-b c_1 \sin(bx) + b c_2 \cos(bx))\)
समीकरण (1) से, \(e^{ax}(c_1 \cos(bx) + c_2 \sin(bx)) = y\)।
\(\frac{dy}{dx} = ay + e^{ax}(-b c_1 \sin(bx) + b c_2 \cos(bx))\) .....(2)
चरण 2: \(\frac{d^2y}{dx^2}\) ज्ञात करें
समीकरण (2) का पुनः अवकलन करने पर:
\(\frac{d^2y}{dx^2} = a\left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{d}{dx}[e^{ax}(-b c_1 \sin(bx) + b c_2 \cos(bx))]\)
दूसरे पद पर product rule लगाने पर:
\shortcuts \(= a\left(\frac{dy}{dx}\right) + a \cdot e^{ax}(-b c_1 \sin(bx) + b c_2 \cos(bx)) + e^{ax}(-b^2 c_1 \cos(bx) - b^2 c_2 \sin(bx))\)
समीकरण (2) से, \(e^{ax}(-b c_1 \sin(bx) + b c_2 \cos(bx)) = \frac{dy}{dx} - ay\)
और, \(e^{ax}(-b^2 c_1 \cos(bx) - b^2 c_2 \sin(bx)) = -b^2 \cdot y\)
इन मानों को रखने पर:
\(\frac{d^2y}{dx^2} = a\left(\frac{dy}{dx}\right) + a\left(\frac{dy}{dx} - ay\right) - b^2y\)
\(\frac{d^2y}{dx^2} = 2a\left(\frac{dy}{dx}\right) - a^2y - b^2y\)
\(\frac{d^2y}{dx^2} = 2a\left(\frac{dy}{dx}\right) - (a^2 + b^2)y\)
चरण 3: समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें
\(\frac{d^2y}{dx^2} - 2a\left(\frac{dy}{dx}\right) + (a^2+b^2)y = 0\)
अतः, यह सिद्ध होता है कि दिया गया फलन, अवकल समीकरण का हल है।
दिया गया है: \(y = e^{ax}(c_1 \cos(bx) + c_2 \sin(bx))\) .....(1)
चरण 1: \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात करें
Product rule का उपयोग करने पर:
\(\frac{dy}{dx} = a \cdot e^{ax}(c_1 \cos(bx) + c_2 \sin(bx)) + e^{ax}(-b c_1 \sin(bx) + b c_2 \cos(bx))\)
समीकरण (1) से, \(e^{ax}(c_1 \cos(bx) + c_2 \sin(bx)) = y\)।
\(\frac{dy}{dx} = ay + e^{ax}(-b c_1 \sin(bx) + b c_2 \cos(bx))\) .....(2)
चरण 2: \(\frac{d^2y}{dx^2}\) ज्ञात करें
समीकरण (2) का पुनः अवकलन करने पर:
\(\frac{d^2y}{dx^2} = a\left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{d}{dx}[e^{ax}(-b c_1 \sin(bx) + b c_2 \cos(bx))]\)
दूसरे पद पर product rule लगाने पर:
\shortcuts \(= a\left(\frac{dy}{dx}\right) + a \cdot e^{ax}(-b c_1 \sin(bx) + b c_2 \cos(bx)) + e^{ax}(-b^2 c_1 \cos(bx) - b^2 c_2 \sin(bx))\)
समीकरण (2) से, \(e^{ax}(-b c_1 \sin(bx) + b c_2 \cos(bx)) = \frac{dy}{dx} - ay\)
और, \(e^{ax}(-b^2 c_1 \cos(bx) - b^2 c_2 \sin(bx)) = -b^2 \cdot y\)
इन मानों को रखने पर:
\(\frac{d^2y}{dx^2} = a\left(\frac{dy}{dx}\right) + a\left(\frac{dy}{dx} - ay\right) - b^2y\)
\(\frac{d^2y}{dx^2} = 2a\left(\frac{dy}{dx}\right) - a^2y - b^2y\)
\(\frac{d^2y}{dx^2} = 2a\left(\frac{dy}{dx}\right) - (a^2 + b^2)y\)
चरण 3: समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें
\(\frac{d^2y}{dx^2} - 2a\left(\frac{dy}{dx}\right) + (a^2+b^2)y = 0\)
अतः, यह सिद्ध होता है कि दिया गया फलन, अवकल समीकरण का हल है।
हमें उम्मीद है कि यह पोस्ट आपके लिए उपयोगी रही। यदि आपके कोई और प्रश्न हैं, तो कृपया बेझिझक पूछें।
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