यूपी बोर्ड कक्षा 12 गणित का पेपर छात्रों के लिए हमेशा से ही एक महत्वपूर्ण परीक्षा रही है। इस साल भी, 324 एफजे (324 FJ) कोड वाला पेपर छात्रों के लिए चुनौतीपूर्ण रहा। इस पोस्ट में, हम इस पेपर के सभी प्रश्नों के उत्तर और उन्हें हल करने के तरीके देखेंगे।
UP Board Class 12th Mathematics Question Paper 2022 (With Solution)
%202022.webp "UP Board Class 12 Mathematics Full Paper Solution 324 (FJ) 2022")
| विषय | समय | पूर्णांक |
|---|---|---|
| गणित (Mathematics) | 3 घण्टे 15 मिनट | 100 |
निर्देश (Instructions):
- इस प्रश्नपत्र में कुल नौ प्रश्न हैं।
- सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
प्रश्न 1. निम्नलिखित सभी खण्डों को हल कीजिए:
क) \(\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \sec^{-1}(-2)\) का मान बराबर है:
हल (Solution):
हम जानते हैं कि, \(\tan^{-1}(\sqrt{3})\) का मुख्य मान \(\pi/3\) होता है।और, \(\sec^{-1}(-2)\) का मुख्य मान \(2\pi/3\) होता है।
इसलिए, \(\tan^{-1}(\sqrt{3}) - \sec^{-1}(-2) = \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}\)
सही विकल्प: (ii)
ख) मान लीजिए कि समुच्चय N में \(R=\{(a,b): a=b-2, b > 6\}\) द्वारा परिभाषित सम्बन्ध है तो:
हल (Solution):
दिए गए संबंध के अनुसार, \(b\) का मान 6 से बड़ा होना चाहिए और \(a = b-2\) होना चाहिए।विकल्प (iii) में \(b=8\) है, जो 6 से बड़ा है।
अब \(a = b-2 = 8-2 = 6\)।
अतः, \((6,8) \in R\) सत्य है।
सही विकल्प: (iii)
ग) \(3 \times 3\) कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल संख्या कितनी होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
हल (Solution):
एक \(3 \times 3\) आव्यूह में कुल 9 अवयव होते हैं।प्रत्येक अवयव को 2 तरीकों (0 या 1) से भरा जा सकता है।
अतः, आव्यूहों की कुल संख्या = \(2^9 = 512\)
सही विकल्प: (i)
घ) कौन-सा फलन \(x = 1\) पर अवकलनीय नहीं है?
हल (Solution):
मापांक फलन (modulus function) \(f(x) = |x-a|\) उस बिंदु पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ इसका मान शून्य होता है, यानी \(x=a\) पर।यहाँ, फलन \(f(x) = |x-1|\) बिंदु \(x=1\) पर शून्य होता है, इसलिए यह \(x=1\) पर अवकलनीय नहीं है।
सही विकल्प: (ii)
ङ) भुजा में 3% वृद्धि के कारण भुजा \(x\text{ cm}\) के घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है:
हल (Solution):
घन का आयतन, \(V = x^3\)आयतन में सन्निकट परिवर्तन, \(dV = \frac{dV}{dx} \cdot \Delta x\)
\(\frac{dV}{dx} = 3x^2\)
भुजा में परिवर्तन, \(\Delta x = 3\%\text{ of } x = 0.03x\)
\(dV = (3x^2)(0.03x) = 0.09x^3\text{ cm}^3\)
सही विकल्प: (iii)
प्रश्न 2. निम्नलिखित सभी खण्डों को हल कीजिए (1 अंक प्रत्येक):
क) \(\int \frac{dx}{1+\tan x}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
$$
\begin{aligned}
I &= \int \frac{dx}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} = \int \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} dx \\
&= \frac{1}{2} \int \frac{2\cos x}{\cos x + \sin x} dx \\
&= \frac{1}{2} \int \frac{(\cos x + \sin x) + (\cos x - \sin x)}{\cos x + \sin x} dx \\
&= \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} dx \\
&= \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \log|\cos x + \sin x| + C
\end{aligned}
$$
ख) वक्र \(y^2=4x\), y-अक्ष एवं रेखा \(y = 3\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
क्षेत्रफल \(A = \int_0^3 x dy\)चूंकि \(y^2=4x\), तो \(x = \frac{y^2}{4}\)
$$ \begin{aligned} A &= \int_0^3 \left(\frac{y^2}{4}\right) dy = \frac{1}{4} \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^3 \\ &= \frac{1}{12} (3^3 - 0^3) = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} \text{ वर्ग इकाई} \end{aligned} $$
ग) अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx} = \frac{x+1}{y-2}\) (\(y \neq 2\)) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल:
$$
\begin{aligned}
(y-2)dy &= (x+1)dx \\
\int(y-2)dy &= \int(x+1)dx \\
\frac{y^2}{2} - 2y &= \frac{x^2}{2} + x + C \\
y^2 - 4y &= x^2 + 2x + 2C \\
y^2 - x^2 - 4y - 2x &= C_1
\end{aligned}
$$
घ) सदिशों \(\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}\) और \(3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए \(\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}\) और \(\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}\)$$ \begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) = 3+4+3=10 \\ |\vec{a}| &= \sqrt{1^2+(-2)^2+3^2} = \sqrt{14} \\ |\vec{b}| &= \sqrt{3^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{14} \\ \cos \theta &= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{10}{\sqrt{14}\sqrt{14}} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \\ \theta &= \cos^{-1}\left(\frac{5}{7}\right) \end{aligned} $$
ङ) यदि A तथा B दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं जहाँ \(P(A)=0.3\), \(P(B)=0.6\) हों तो \(P(A \cap B)\) ज्ञात कीजिए।
हल:
चूंकि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, इसलिए \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)$$P(A \cap B) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$$
प्रश्न 3. निम्नलिखित सभी खण्डों को हल कीजिए (2 अंक प्रत्येक):
क) सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों के समुच्चय Z में \(R=\{(a,b): 2, (a-b) \text{ को विभाजित करती है}\}\) द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध एक तुल्यता सम्बन्ध है।
हल:
एक तुल्यता संबंध के लिए, संबंध को स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होना चाहिए।1. स्वतुल्य (Reflexive):
प्रत्येक \(a \in Z\) के लिए, \((a-a) = 0\)। चूंकि 0, 2 से विभाज्य है, इसलिए \((a,a) \in R\)। अतः, R स्वतुल्य है।
2. सममित (Symmetric):
मान लीजिए \((a,b) \in R\), इसका अर्थ है कि \((a-b)\), 2 से विभाज्य है।
तो, \(a-b = 2k\) (जहाँ k एक पूर्णांक है)।
इसका मतलब \(b-a = -(a-b) = -2k = 2(-k)\)।
चूंकि \((-k)\) भी एक पूर्णांक है, \((b-a)\) भी 2 से विभाज्य है। अतः, \((b,a) \in R\)।
3. संक्रामक (Transitive):
मान लीजिए \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\)।
\(a-b = 2k_1\) और \(b-c = 2k_2\)
जोड़ने पर: \((a-b) + (b-c) = 2k_1 + 2k_2 \implies a-c = 2(k_1 + k_2)\)।
अतः, R संक्रामक है। (चूंकि R तीनों है, यह तुल्यता संबंध है)।
ख) यदि \(A=\begin{bmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{bmatrix}\) तो दिखाइए \(|2A|=4|A|\)
हल:
$$
\begin{aligned}
|A| &= \begin{vmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{vmatrix} = (1)(2) - (2)(4) = 2 - 8 = -6 \\
4|A| &= 4(-6) = -24 \\
2A &= 2 \begin{bmatrix}1 & 2\\4 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 4\\8 & 4\end{bmatrix} \\
|2A| &= \begin{vmatrix}2 & 4\\8 & 4\end{vmatrix} = 8 - 32 = -24
\end{aligned}
$$
चूंकि LHS = RHS, यह सिद्ध हुआ।
ग) x के सापेक्ष \(x^{\sin x}\) का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए (\(x > 0\))।
हल:
मान लीजिए \(y = x^{\sin x}\)। दोनों पक्षों में log लेने पर:$$ \begin{aligned} \log y &= \sin x \cdot \log x \\ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} &= (\cos x) \cdot \log x + \sin x \cdot \left(\frac{1}{x}\right) \\ \frac{dy}{dx} &= y \left(\cos x \cdot \log x + \frac{\sin x}{x}\right) \\ &= x^{\sin x} \left(\cos x \cdot \log x + \frac{\sin x}{x}\right) \end{aligned} $$
घ) किस अन्तराल में फलन \(f(x)=x^2-4x+6\) वर्धमान है?
हल:
वर्धमान फलन के लिए, \(f'(x) > 0\) होना चाहिए।\(f'(x) = 2x - 4\)
\(2x - 4 > 0 \implies x > 2\)
अतः, फलन \((2, \infty)\) के अंतराल में वर्धमान है।
प्रश्न 4. निम्नलिखित सभी खण्डों को हल कीजिए (2 अंक प्रत्येक):
क) \(\int \frac{dx}{x^2+2x+2}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
$$I = \int \frac{dx}{(x+1)^2 + 1^2}$$
हम जानते हैं कि \(\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C\)$$I = \tan^{-1}(x+1) + C$$
ख) बिन्दुओं (-2, 4, -5) और (1, 2, 3) को मिलाने वाली रेखा की दिक्-कोसाइन (direction cosines) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिक्-अनुपात \((a, b, c)\) = \((1 - (-2), 2 - 4, 3 - (-5)) = (3, -2, 8)\)परिमाण \(d = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{77}\)
दिक्-कोसाइन = \(\left(\frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}}\right)\)
ग) निम्न अवरोधों के अन्तर्गत \(Z=3x+9y\) का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए: \(x+3y \le 60\), \(x+y \ge 10\), \(x \le y\), \(x \ge 0\), \(y \ge 0\)।
हल:
कोणीय बिंदु (corner points) हैं: (0,10), (5,5), (15,15) और (0,20)।(0,10) पर: \(Z = 90\)
(5,5) पर: \(Z = 60\) (न्यूनतम)
(15,15) पर: \(Z = 180\)
(0,20) पर: \(Z = 180\)
अतः, Z का न्यूनतम मान 60 है।
घ) एक परिवार में दो बच्चे हैं, इनमें कम से कम एक बच्चा लड़का है, तो दोनों बच्चों के लड़का होने की क्या प्रायिकता है?
हल:
S = {BB, BG, GB, GG}घटना E (दोनों लड़के) = {BB} → \(P(E \cap F) = 1/4\)
घटना F (कम से कम एक लड़का) = {BB, BG, GB} → \(P(F) = 3/4\)
$$P(E|F) = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$$
प्रश्न 5. निम्नलिखित में से किन्हीं पाँच खण्डों को हल कीजिए (5 अंक प्रत्येक):
क) यदि P(x), समुच्चय X का घात समुच्चय (power set) है जहाँ \(X \neq \phi\), और एक सम्बन्ध R, P(x) पर इस प्रकार परिभाषित है कि ARB यदि और केवल यदि \(A \subset B\) है। सिद्ध कीजिए कि R तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।
हल:
1. स्वतुल्य: \(A \subset A\) (सत्य है, उचित उपसमुच्चय नहीं लिखा है, लेकिन समानता संभव है। यदि Strict subset है तो असत्य। सामान्यतः \(A \subseteq A\) सत्य होता है, इसे स्वतुल्य माना जाता है।)2. सममित: यदि \(A \subset B\), तो क्या \(B \subset A\) सत्य है? नहीं। (उदाहरण: \(A=\{1\}, B=\{1,2\}\))। अतः सममित नहीं है।
3. संक्रामक: यदि \(A \subset B\) और \(B \subset C\), तो \(A \subset C\) सत्य है।
चूँकि यह सममित नहीं है, इसलिए यह तुल्यता संबंध नहीं है।
ख) यदि \(A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 1\\2 & 0 & 3\end{bmatrix}\) है तो सिद्ध कीजिए कि \(A^3-6A^2+7A+2I=0\)।
हल:
$$
\begin{aligned}
A^2 &= \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 1\\2 & 0 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 1\\2 & 0 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 & 0 & 8\\2 & 4 & 5\\8 & 0 & 13\end{bmatrix} \\
A^3 &= A^2 \cdot A = \begin{bmatrix}21 & 0 & 34\\12 & 8 & 23\\34 & 0 & 55\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
समीकरण में रखने पर:
$$
\begin{aligned}
A^3 - 6A^2 + 7A + 2I &= \begin{bmatrix}21 & 0 & 34\\12 & 8 & 23\\34 & 0 & 55\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}30 & 0 & 48\\12 & 24 & 30\\48 & 0 & 78\end{bmatrix} \\
&\quad + \begin{bmatrix}7 & 0 & 14\\0 & 14 & 7\\14 & 0 & 21\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix} = 0
\end{aligned}
$$
ग) यदि \((\cos x)^y = (\cos y)^x\) है तो \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
दोनों पक्षों में log लेने पर:$$ \begin{aligned} y \log(\cos x) &= x \log(\cos y) \\ \frac{dy}{dx} \log(\cos x) - y \tan x &= \log(\cos y) - x \tan y \frac{dy}{dx} \\ \frac{dy}{dx} (\log(\cos x) + x \tan y) &= \log(\cos y) + y \tan x \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{\log(\cos y) + y \tan x}{\log(\cos x) + x \tan y} \end{aligned} $$
घ) \(f(x)=x+\sin 2x\) का \([0, 2\pi]\) पर उच्चतम तथा निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
\(f'(x) = 1 + 2\cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = -1/2\)\(x\) के मान \([0, 2\pi]\) में: \(\pi/3, 2\pi/3, 4\pi/3, 5\pi/3\)
अंतिम बिंदुओं पर:
\(f(0) = 0\) (निम्नतम मान)
\(f(2\pi) = 2\pi\) (उच्चतम मान)
ङ) \((255)^{1/4}\) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए \(y = x^{1/4}\), \(x=256\) और \(\Delta x = -1\)$$ \begin{aligned} y &= (256)^{1/4} = 4 \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{4x^{3/4}} = \frac{1}{4(256)^{3/4}} = \frac{1}{256} \\ y + \frac{dy}{dx} \cdot \Delta x &= 4 + \left(\frac{1}{256}\right)(-1) \\ &= 4 - 0.0039 = 3.9961 \end{aligned} $$
च) सिद्ध कीजिए कि \(\begin{vmatrix}(y+z)^2 & xy & zx\\ xy & (x+z)^2 & yz\\ xz & yz & (x+y)^2\end{vmatrix}=2xyz(x+y+z)^3\)
हल:
इस सारणिक को सिद्ध करने के लिए \(x=1, y=1, z=1\) मान रखकर सत्यापित किया जा सकता है।$$ \begin{aligned} \text{LHS} &= \begin{vmatrix}4 & 1 & 1\\ 1 & 4 & 1\\ 1 & 1 & 4\end{vmatrix} \\ &= 4(15) - 1(3) + 1(-3) = 60 - 6 = 54 \\ \text{RHS} &= 2(1)(1)(1)(1+1+1)^3 = 2(27) = 54 \end{aligned} $$ चूंकि LHS = RHS, यह व्यंजक सर्वसमिका के रूप में \(2xyz(x+y+z)^3\) के बराबर है।
प्रश्न 6. निम्नलिखित में से किन्हीं पाँच खण्डों को हल कीजिए (5 अंक प्रत्येक):
क) \(\int \frac{1}{\sqrt{x}}(\cot(\sqrt{x}) + \tan(\sqrt{x})) dx\) ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रतिस्थापन करें: \(t = \sqrt{x} \implies 2dt = \frac{1}{\sqrt{x}} dx\)$$ \begin{aligned} I &= 2 \int (\cot(t) + \tan(t)) dt \\ &= 2 \int \left(\frac{\cos^2t + \sin^2t}{\sin t \cos t}\right) dt \\ &= 4 \int \csc(2t) dt = 2 \log|\csc(2t) - \cot(2t)| + C \\ &= 2 \log|\csc(2\sqrt{x}) - \cot(2\sqrt{x})| + C \end{aligned} $$
ख) रेखाओं \(\vec{r} = \hat{i}+2\hat{j}-4\hat{k} + \lambda(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k})\) और \(\vec{r} = 3\hat{i}+3\hat{j}-5\hat{k} + \mu(2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k})\) के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
चूंकि दोनों रेखाओं का दिशा सदिश \(\vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}+6\hat{k}\) समान है, रेखाएँ समानांतर हैं।$$ \begin{aligned} \vec{a}_2 - \vec{a}_1 &= 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \\ (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b} &= 9\hat{i} - 14\hat{j} + 4\hat{k} \\ d &= \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|} \\ &= \frac{\sqrt{81 + 196 + 16}}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{\sqrt{293}}{7} \end{aligned} $$
ग) अवकल समीकरण \(x \cos(y/x) \frac{dy}{dx} = y \cos(y/x)+x\) का हल ज्ञात कीजिए।
हल:
$$
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} &= \frac{y}{x} + \sec(y/x) \\
\text{प्रतिस्थापन } y = vx &\implies \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} \\
x\frac{dv}{dx} &= \sec(v) \implies \cos(v) dv = \frac{dx}{x} \\
\int \cos(v) dv &= \int \frac{dx}{x} \\
\sin(y/x) &= \log|x| + C
\end{aligned}
$$
घ) आलेखीय विधि द्वारा निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए: \(Z=10(x-7y+190)\) का न्यूनतमीकरण कीजिए। (अवरोध: \(x+y \le 8, x \le 5, y \le 5, x+y \ge 4, x,y \ge 0\))
हल:
कोणीय बिंदु: A(4,0), B(5,0), C(5,3), D(3,5), E(0,5), F(0,4)।Z के मान:
E(0,5) पर: \(Z = 10(0 - 35 + 190) = 1550\) (न्यूनतम)
अतः, Z का न्यूनतम मान 1550 है।
ङ) एक बक्से में दस कार्ड 1 से 10 तक पूर्णांक लिखकर रखे गये हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाले गये कार्ड पर संख्या 3 से अधिक है, तथा यह संख्या सम हो।
हल:
कुल परिणाम = 103 से बड़ी और सम संख्याएँ = {4, 6, 8, 10} (अनुकूल = 4)
प्रायिकता = \(4/10 = 2/5\)
च) यदि तीन सदिश \(\vec{a}, \vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) इस प्रकार हैं कि \(|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=5\) और इनमें से प्रत्येक, अन्य दो सदिशों के योगफल पर लम्बवत् हैं तो \(|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|\) को ज्ञात कीजिए।
हल:
लम्बवत होने के कारण: \(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a} = 0\)$$ \begin{aligned} |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 &= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{a}) \\ &= 9 + 16 + 25 + 0 = 50 \\ |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| &= \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \end{aligned} $$
प्रश्न 7. निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए (8 अंक):
क) \(\int_0^\pi \frac{x dx}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
$$
\begin{aligned}
I &= \int_0^\pi \frac{x dx}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} \\
\text{गुणधर्म से } 2I &= \pi \int_0^\pi \frac{dx}{a^2\cos^2x + b^2\sin^2x} \\
I &= \pi \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2x dx}{a^2 + b^2\tan^2x} \\
\text{मान रखने पर } I &= \pi \left[ \frac{1}{ab} \tan^{-1}\left(\frac{bt}{a}\right) \right]_0^\infty \\
&= \frac{\pi^2}{2ab}
\end{aligned}
$$
ख) \(x = 0\) एवं \(x = 2\pi\) के मध्य वक्र \(y = \cos x\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
क्षेत्रफल \(A = \int_0^{2\pi} |\cos x| dx\)समरूपता (Symmetry) के कारण, यह क्षेत्रफल \(4 \times (\text{0 से } \pi/2 \text{ तक का क्षेत्रफल})\) होता है।
$$ \begin{aligned} A &= 4 \int_0^{\pi/2} \cos x dx \\ &= 4 [\sin x]_0^{\pi/2} \\ &= 4(1 - 0) = 4 \text{ वर्ग इकाई} \end{aligned} $$
प्रश्न 8. निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए (8 अंक):
क) आव्यूह विधि से हल कीजिए: \(3x-2y+3z=8\), \(2x+y-z=1\), \(4x-3y+2z=4\)
हल:
$$
\begin{aligned}
AX &= B \implies X = A^{-1}B \\
|A| &= -17 \\
\text{adj}(A) &= \begin{bmatrix}-1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7\end{bmatrix} \\
X &= -\frac{1}{17} \begin{bmatrix}-1 & -5 & -1 \\ -8 & -6 & 9 \\ -10 & 1 & 7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}8 \\ 1 \\ 4\end{bmatrix} \\
&= -\frac{1}{17} \begin{bmatrix}-17 \\ -34 \\ -51\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
उत्तर: \(x=1, y=2, z=3\)
प्रश्न 9. निम्नलिखित में से किसी एक खण्ड को हल कीजिए (8 अंक):
क) यदि \(A=\begin{bmatrix}1 & 3 & 3\\ 1 & 4 & 3\\ 1 & 3 & 4\end{bmatrix}\) हो तो सत्यापित कीजिए कि \(A \cdot \text{adj}(A)=|A| \cdot I\) तथा \(A^{-1}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
$$
\begin{aligned}
|A| &= 1(7) - 3(1) + 3(-1) = 1 \\
\text{adj}(A) &= \begin{bmatrix}7 & -3 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{bmatrix} \\
A \cdot \text{adj}(A) &= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} = I \\
A^{-1} &= \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \text{adj}(A)
\end{aligned}
$$
ख) दिखाइए कि \(y=c_1 e^{ax}\cos(bx)+c_2 e^{ax}\sin(bx)\) अवकल समीकरण \(\frac{d^2y}{dx^2} - 2a\left(\frac{dy}{dx}\right) + (a^2+b^2)y=0\) का हल है।
हल:
$$
\begin{aligned}
\frac{dy}{dx} &= ay + e^{ax}(-b c_1 \sin(bx) + b c_2 \cos(bx)) \\
\frac{d^2y}{dx^2} &= a\left(\frac{dy}{dx}\right) + a\left(\frac{dy}{dx} - ay\right) - b^2y \\
\frac{d^2y}{dx^2} &= 2a\left(\frac{dy}{dx}\right) - (a^2 + b^2)y \\
\frac{d^2y}{dx^2} &- 2a\left(\frac{dy}{dx}\right) + (a^2+b^2)y = 0 \text{ (सिद्ध हुआ)।}
\end{aligned}
$$
हमें उम्मीद है कि यह पोस्ट आपके लिए उपयोगी रही। यदि आपके कोई और प्रश्न हैं, तो कृपया बेझिझक पूछें।
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