हेलो स्टूडेंट्स! पिछले चैप्टर के बाद, अब हम 'बीजगणित' (Algebra) के सबसे महत्वपूर्ण चैप्टर्स में से एक, 'दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म' पर आ गए हैं। यह वह चैप्टर है जहाँ से आप 'x' और 'y' के मान (values) निकालने की असली शुरुआत करते हैं।
यह चैप्टर बोर्ड परीक्षा के लिए बहुत महत्वपूर्ण है, खासकर इसके 'वर्ड प्रॉब्लम्स' (Word Problems) के लिए।
इस आर्टिकल में हम सभी जरूरी फॉर्मूले, कॉन्सेप्ट्स (जैसे प्रतिस्थापन और विलोपन विधि) और बोर्ड परीक्षा में आने वाले महत्वपूर्ण सवालों को हल करेंगे।
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| कक्षा 10 गणित: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म |
तो, चलिए शुरू करते हैं!
🚀 कॉन्सेप्ट 1: रैखिक समीकरणों के प्रकार (Types of Solutions)
जब हमारे पास दो रैखिक समीकरण (linear equations) होती हैं:
`a_1x + b_1y + c_1 = 0`
`a_2x + b_2y + c_2 = 0`
...तो बिना ग्राफ बनाए या हल किए, हम सिर्फ उनके गुणांकों (coefficients) के अनुपात (ratios) से बता सकते हैं कि उनका हल (solution) कैसा होगा।
यह टेबल इस चैप्टर की सबसे महत्वपूर्ण टेबल है:
| अनुपात की तुलना (Ratio Comparison) | ग्राफीय निरूपण (Graphical) | बीजगणितीय हल (Algebraic Solution) |
|---|---|---|
| `a_1/a_2 != b_1/b_2` | प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting) | अद्वितीय हल (Unique Solution) (संगत / Consistent) |
| `a_1/a_2 = b_1/b_2 != c_1/c_2` | समांतर रेखाएँ (Parallel) | कोई हल नहीं (No Solution) (असंगत / Inconsistent) |
| `a_1/a_2 = b_1/b_2 = c_1/c_2` | संपाती रेखाएँ (Coincident) | अनंत हल (Infinite Solutions) (आश्रित संगत / Dependent) |
🚀 कॉन्सेप्ट 2: प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)
यह 'x' और 'y' का मान निकालने की पहली विधि है।
- Step 1: किसी एक समीकरण (equation) से `x` या `y` का मान निकालें (जैसे `x = 4 + y`)।
- Step 2: इस मान को दूसरी समीकरण में 'प्रतिस्थापित' (substitute) करें।
- Step 3: इससे आपको एक चर (variable) का मान मिल जाएगा (जैसे `y = 5`)।
- Step 4: इस मान को वापस Step 1 में रखकर दूसरे चर का मान निकाल लें।
🚀 कॉन्सेप्ट 3: विलोपन विधि (Elimination Method)
यह 'x' और 'y' का मान निकालने की सबसे तेज और आसान विधि है।
- Step 1: दोनों समीकरणों में `x` या `y` के गुणांकों (coefficients) को बराबर (equal) करें। (LCM लेकर गुणा (multiply) करके)
- Step 2: दोनों समीकरणों को जोड़ें (Add) या घटाएँ (Subtract) ताकि एक चर (variable) 'विलुप्त' (eliminate) हो जाए।
- Step 3: इससे आपको एक चर का मान मिल जाएगा।
- Step 4: इस मान को किसी भी समीकरण में रखकर दूसरा मान निकाल लें।
🎯 बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न (Important Questions)
💡 प्रो-टिप: इन फॉर्मूलों को समझने के बाद, यह जानना बहुत ज़रूरी है कि परीक्षा में असली सवाल कैसे आते हैं। आप हमारी इस गाइड से पिछले वर्षों के सभी पेपर डाउनलोड कर सकते हैं:
→ UP Board Class 10 Previous Year Question Papers (All Subjects)
प्रश्न 1: अनुपातों की तुलना (Comparing Ratios)
प्रश्न: बताइए कि समीकरण युग्म `5x - 4y + 8 = 0` और `7x + 6y - 9 = 0` संगत (consistent) हैं या असंगत (inconsistent)?
हल (Solution):
यहाँ (Here), `a_1 = 5, b_1 = -4, c_1 = 8` `a_2 = 7, b_2 = 6, c_2 = -9`
- `a_1/a_2 = 5/7`
- `b_1/b_2 = -4/6 = -2/3`
चूँकि `a_1/a_2 != b_1/b_2` (क्योंकि `5/7 != -2/3`),
उत्तर: यह रेखाएँ प्रतिच्छेदी (Intersecting) हैं और इनका अद्वितीय हल (Unique Solution) होगा। इसलिए, यह युग्म संगत (Consistent) है।
प्रश्न 2: प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)
प्रश्न: निम्न समीकरणों को प्रतिस्थापन विधि से हल करें:
`x + y = 14` ---(i)
`x - y = 4` ---(ii)
हल (Solution):
- Step 1: समीकरण (ii) से,
`x = 4 + y` ---(iii) - Step 2: `x` के इस मान को (i) में रखने पर:
`(4 + y) + y = 14` - Step 3: `4 + 2y = 14`
`2y = 10`
`y = 5` - Step 4: `y = 5` को (iii) में रखने पर:
`x = 4 + 5`
`x = 9`
उत्तर: x = 9, y = 5
प्रश्न 3: विलोपन विधि (Elimination Method)
प्रश्न: निम्न समीकरणों को विलोपन विधि से हल करें:
`3x + 4y = 10` ---(i)
`2x - 2y = 2` ---(ii)
हल (Solution):
- Step 1: `y` के गुणांक को बराबर करने के लिए, समीकरण (ii) को 2 से गुणा करें:
`2(2x - 2y) = 2(2)`
`4x - 4y = 4` ---(iii) - Step 2: अब (i) और (iii) को जोड़ने पर (Adding):
`(3x + 4y) + (4x - 4y) = 10 + 4`
`7x = 14` - Step 3: `x = 2`
- Step 4: `x = 2` को (i) में रखने पर:
`3(2) + 4y = 10`
`6 + 4y = 10`
`4y = 4`
`y = 1`
उत्तर: x = 2, y = 1
💡 प्रो-टिप्स: इस चैप्टर में 100% मार्क्स कैसे लाएं
- वर्ड प्रॉब्लम्स (Word Problems): इस चैप्टर से 3 या 5 नंबर का एक वर्ड प्रॉब्लम (जैसे भिन्न (fraction), आयु (age), या नाव (boat) वाला) लगभग पक्का होता है। NCERT की 3.3, 3.4, 3.5 की word problems को लिखकर प्रैक्टिस करें।
- कौन सी विधि? अगर परीक्षा में विधि (method) का नाम नहीं लिखा है, तो हमेशा 'विलोपन विधि' (Elimination Method) का प्रयोग करें। यह सबसे तेज है।
- साइन (Sign) का खतरा: घटाते (subtract) समय साइन (sign) बदलना याद रखें। `-(2x - 2y)` का मतलब `-2x + 2y` होता है। यह सबसे आम गलती है।
- उत्तर जाँचें (Check Answer): `x` और `y` का मान निकालने के बाद, उसे अपने प्रश्न की दोनों समीकरणों में रखकर देखें कि क्या LHS = RHS आ रहा है। यह 30 सेकंड आपका उत्तर 100% पक्का कर देंगे।
निष्कर्ष (Conclusion)
'दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म' चैप्टर प्रैक्टिस मांगता है। इसमें तीन ही मुख्य बातें हैं: अनुपात वाली टेबल (Ratio Table), प्रतिस्थापन विधि, और विलोपन विधि। इन तीनों पर पकड़ बना ली, तो यह चैप्टर आपके लिए बहुत स्कोरिंग बन जाएगा।
अगले आर्टिकल में हम 'द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)' पर चर्चा करेंगे। आपको यह आर्टिकल कैसा लगा, कमेंट्स में जरूर बताएं!
All the best! 👍
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