हेलो स्टूडेंट्स! पिछले चैप्टर (AP) के बाद, अब हम गणित के सबसे महत्वपूर्ण भाग (section), यानी ज्यामिति (Geometry) में प्रवेश कर रहे हैं। 'त्रिभुज (Triangles)' देखने में थोड़ा कठिन लग सकता है, लेकिन यह बहुत ही लॉजिकल है।

यह चैप्टर सर्वांगसम (Congruent) होने से एक कदम आगे, 'समरूप' (Similar) होने के बारे में है। इस चैप्टर में 3-4 प्रमेय (Theorems) हैं जो बोर्ड परीक्षा में सीधे 3 से 5 नंबर के लिए पूछे जाते हैं!

इस आर्टिकल में हम सभी जरूरी प्रमेय, कॉन्सेप्ट्स और बोर्ड परीक्षा में आने वाले महत्वपूर्ण सवालों को हल करेंगे।

कक्षा 10 गणित: त्रिभुज (Triangles)
कक्षा 10 गणित: त्रिभुज (Triangles)

तो, चलिए शुरू करते हैं!

🚀 कॉन्सेप्ट 1: समरूप आकृतियाँ (Similar Figures)

दो आकृतियाँ 'समरूप' (Similar) कहलाती हैं यदि:

       
  • उनके संगत कोण बराबर हों (Corresponding angles are equal)।
    •    
  • उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों (Corresponding sides are in the same ratio/proportion)।

याद रखें:
सर्वांगसम (Congruent) = समान आकार और समान माप (Same shape, Same size)
समरूप (Similar) = समान आकार, लेकिन माप अलग हो सकता है (Same shape, Different size - Like a passport photo and its enlargement)

🚀 कॉन्सेप्ट 2: थेल्स प्रमेय / BPT (Thales Theorem / BPT)

यह इस चैप्टर का VVI (Very Very Important) प्रमेय है। इसे 'आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय' (Basic Proportionality Theorem) भी कहते हैं।

प्रमेय (Theorem): यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर (parallel) अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद (intersect) करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो वे अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

फॉर्मूला (Formula):

यदि `DE || BC`, तो...

    `AD / DB = AE / EC`

🚀 कॉन्सेप्ट 3: त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ (Criteria for Similarity)

दो त्रिभुजों को समरूप (Similar) साबित करने के लिए हमें तीनों कोण और तीनों भुजाएँ जाँचने की जरूरत नहीं है। सिर्फ इन 3 में से कोई 1 कसौटी (Criteria) काफी है:

       
  • 1. AA (या AAA) समरूपता: यदि एक त्रिभुज के दो कोण (Angles) दूसरे त्रिभुज के दो संगत कोणों के बराबर हों। (तीसरा अपने आप बराबर हो जाता है)।
    •    
  • 2. SSS समरूपता: यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ (Sides) दूसरे त्रिभुज की तीनों संगत भुजाओं के समानुपाती (proportional) हों।
    •    
  • 3. SAS समरूपता: यदि एक त्रिभुज का एक कोण (Angle) दूसरे त्रिभुज के एक संगत कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को बनाने वाली भुजाएँ (Sides) समानुपाती हों।

🚀 कॉन्सेप्ट 4: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल (Area of Similar Triangles)

यह एक और VVI प्रमेय है जिस पर 1-2 नंबर का सवाल पक्का आता है।

प्रमेय (Theorem): दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों (Areas) का अनुपात उनकी संगत भुजाओं (Corresponding Sides) के अनुपात के वर्ग (Square) के बराबर होता है।

फॉर्मूला (Formula):

यदि `Δ ABC ~ Δ PQR`, तो...

    `(Area(ABC)) / (Area(PQR)) = (AB/PQ)^2 = (BC/QR)^2 = (AC/PR)^2`

🚀 कॉन्सेप्ट 5: पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem)

यह प्रमेय आप कक्षा 7 से पढ़ रहे हैं। यह सिर्फ समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle) पर लागू होता है।

प्रमेय (Theorem): एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (Hypotenuse) का वर्ग शेष दो भुजाओं (Base and Perpendicular) के वर्गों के योग के बराबर होता है।

फॉर्मूला (Formula):

    (कर्ण)`^2` = (लंब)`^2` + (आधार)`^2`    
    `h^2 = p^2 + b^2`

🎯 बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न (Important Questions)

💡 प्रो-टिप: इन प्रमेयों (Theorems) को समझने के बाद, यह जानना बहुत ज़रूरी है कि परीक्षा में इन पर आधारित असली सवाल कैसे आते हैं। आप हमारी इस गाइड से पिछले वर्षों के सभी पेपर डाउनलोड कर सकते हैं:

→ UP Board Class 10 Previous Year Question Papers (All Subjects)

प्रश्न 1: BPT का प्रयोग (Using BPT)

प्रश्न: चित्र में, यदि `DE || BC` है, `AD = 1.5 cm`, `DB = 3 cm` और `AE = 1 cm` है, तो `EC` ज्ञात कीजिए।

हल (Solution):

BPT (थेल्स प्रमेय) से, हम जानते हैं कि:
`AD / DB = AE / EC`

       
  • `1.5 / 3 = 1 / EC`
    •    
  • `1/2 = 1 / EC`
    •    
  • `EC = 2`

उत्तर: EC = 2 cm

प्रश्न 2: क्षेत्रफल प्रमेय का प्रयोग (Using Area Theorem)

प्रश्न: मान लीजिए `Δ ABC ~ Δ DEF` है और इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 cm² और 121 cm² हैं। यदि `EF = 15.4 cm` हो, तो `BC` ज्ञात कीजिए।

हल (Solution):

हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात...
`(Area(ABC)) / (Area(DEF)) = (BC/EF)^2`

       
  • `64 / 121 = (BC / 15.4)^2`
    •    
  • दोनों तरफ वर्गमूल (Square root) लेने पर:    
    `sqrt(64/121) = BC / 15.4`
    •    
  • `8 / 11 = BC / 15.4`
    •    
  • `BC = (8 * 15.4) / 11`
    •    
  • `BC = 8 * 1.4`

उत्तर: BC = 11.2 cm

💡 प्रो-टिप्स: इस चैप्टर में 100% मार्क्स कैसे लाएं

       
  1. प्रमेय रटें (Learn Theorems): थेल्स प्रमेय (BPT), क्षेत्रफल प्रमेय, और पाइथागोरस प्रमेय - इन तीनों को सिद्ध (Prove) करना सीखें। बोर्ड परीक्षा में 5 नंबर का एक सवाल सीधे 'प्रमेय सिद्ध करें' आ सकता है।
    2.    
  2. डायग्राम बनाएँ (Draw Diagrams): ज्यामिति (Geometry) का कोई भी सवाल बिना डायग्राम के हल न करें। एक सही डायग्राम आपका आधा सवाल वहीं हल कर देता है।
    3.    
  3. सही नाम लिखें (Correct Naming): अगर `Δ ABC ~ Δ PQR` है, तो इसका मतलब है `∠A = ∠P`, `∠B = ∠Q`, और `∠C = ∠R`। नाम आगे-पीछे करने से सवाल गलत हो जाएगा।
    4.    
  4. NCERT को न छोड़ें: इस चैप्टर के लिए NCERT के उदाहरण (Examples) और प्रश्नावली (Exercises) 6.2, 6.3, 6.4 और 6.5 सबसे महत्वपूर्ण हैं। इन्हें बार-बार प्रैक्टिस करें।

निष्कर्ष (Conclusion)

'त्रिभुज' (Triangles) चैप्टर धैर्य और प्रैक्टिस मांगता है। यह रटने वाला चैप्टर नहीं, समझने वाला है। एक बार आपने प्रमेय (Theorems) और समरूपता (Similarity) का कॉन्सेप्ट समझ लिया, तो यह बहुत आसान हो जाएगा। यह चैप्टर त्रिकोणमिति (Trigonometry) का भी आधार है।

अगले आर्टिकल में हम 'निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)' पर चर्चा करेंगे। आपको यह आर्टिकल कैसा लगा, कमेंट्स में जरूर बताएं!

All the best! 👍

UP Board की सभी अपडेट के लिए, जुड़ें!

Tags

Post a Comment

Thanks for your comments.

Post a Comment

Thanks for your comments.

Previous Post Next Post