हेलो स्टूडेंट्स! कक्षा 10 की गणित की दुनिया में आपका स्वागत है। यह चैप्टर, 'वास्तविक संख्याएँ' (Real Numbers), आपकी नींव (foundation) है। यह चैप्टर जितना आसान है, बोर्ड परीक्षा में उतने ही पक्के नंबर भी दिलाता है।
चाहे आप हिंदी मीडियम से हों या इंग्लिश मीडियम से, यह आर्टिकल आपके लिए ही है। इसमें हम सभी जरूरी फॉर्मूले, कॉन्सेप्ट्स, बोर्ड में आने वाले महत्वपूर्ण प्रश्न (Important Questions) और उन्हें हल करने का तरीका देखेंगे। साथ ही, मैं आपको बताऊंगा कि इस चैप्टर को कब और कैसे रिवाइज करना है।
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| कक्षा 10 गणित: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) |
तो चलिए शुरू करते हैं!
🚀 कॉन्सेप्ट 1: यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid's Division Lemma)
यह इस चैप्टर का पहला और सबसे महत्वपूर्ण कॉन्सेप्ट है। इसका इस्तेमाल मुख्य रूप से दो धनात्मक पूर्णांकों (positive integers) का HCF (महत्तम समापवर्तक) निकालने के लिए किया जाता है।
फॉर्मूला (The Lemma):
(जहाँ `0 <= r < b`)
इसका मतलब क्या है? (Meaning):
अगर हमारे पास दो नंबर 'a' और 'b' हैं, तो:
- `a` = भाज्य (Dividend) - (बड़ी संख्या)
- `b` = भाजक (Divisor) - (छोटी संख्या)
- `q` = भागफल (Quotient)
- `r` = शेषफल (Remainder)
यह प्रमेयिका बस यही कहती है कि शेषफल (r) हमेशा भाजक (b) से छोटा होगा।
🚀 कॉन्सेप्ट 2: HCF और LCM में संबंध (Relationship b/w HCF & LCM)
यह एक 'पक्का सवाल' वाला फॉर्मूला है। यह फॉर्मूला सिर्फ दो संख्याओं (only for two numbers) पर लागू होता है।
फॉर्मूला (The Formula):
इसका मतलब क्या है? (Meaning):
किन्हीं दो संख्याओं का HCF और LCM का गुणनफल (product), उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।
🚀 कॉन्सेप्ट 3: सांत और असांत दशमलव (Terminating & Non-Terminating)
यह कॉन्सेप्ट हमें सिखाता है कि किसी भिन्न (Fraction) या परिमेय संख्या (Rational Number) `p/q` को बिना लंबा भाग दिए यह कैसे पता करें कि वह पूरी तरह कट जाएगा (सांत) या नहीं (असांत आवर्ती)।
नियम (The Rule):
- पहले, भिन्न (fraction) को सरल (simplest form) करें (यानी, p और q सह-अभाज्य (co-prime) हों)।
- अब, हर (denominator) 'q' का अभाज्य गुणनखंड (prime factorization) करें।
- अगर 'q' का गुणनखंड सिर्फ़ `2^n × 5^m` के रूप का है, तो वह सांत (Terminating) होगा।
- अगर 'q' के गुणनखंड में 2 और 5 के अलावा कोई और अभाज्य संख्या (जैसे 3, 7, 11) आ जाती है, तो वह असांत आवर्ती (Non-Terminating Repeating) होगा।
🎯 बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न (Important Questions)
💡 प्रो-टिप: इन फॉर्मूलों को समझने के बाद, यह जानना बहुत ज़रूरी है कि परीक्षा में असली सवाल कैसे आते हैं। आप हमारी इस गाइड से पिछले वर्षों के सभी पेपर डाउनलोड कर सकते हैं:
→ UP Board Class 10 Previous Year Question Papers (All Subjects)
प्रश्न 1: यूक्लिड विभाजन का प्रयोग (HCF using Euclid's Lemma)
प्रश्न: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके 135 और 225 का HCF ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
हम `a = bq + r` का इस्तेमाल करेंगे। (यहाँ a = 225, b = 135)
- Step 1: `225 = 135 × 1 + 90` (शेषफल 'r' = 90, जो 0 नहीं है)
- Step 2: `135 = 90 × 1 + 45` (शेषफल 'r' = 45, जो 0 नहीं है)
- Step 3: `90 = 45 × 2 + 0` (शेषफल 'r' = 0 आ गया!)
जिस भाजक (divisor) पर शेषफल 0 आता है, वही HCF होता है।
उत्तर: HCF (135, 225) = 45
प्रश्न 2: HCF-LCM फॉर्मूला का प्रयोग
प्रश्न: यदि HCF (306, 657) = 9 दिया है, तो LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हल (Solution):
हम जानते हैं (We know that):
`HCF × LCM` = संख्याओं का गुणनफल (Product of numbers)
- Step 1: `9 × LCM = 306 × 657`
- Step 2: `LCM = (306 × 657) / 9`
- Step 3: `LCM = 34 × 657`
उत्तर: LCM = 22338
प्रश्न 3: अपरिमेय संख्या सिद्ध करना (Proving Irrationality)
प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि `√3` एक अपरिमेय संख्या है।
हल (Solution):
इसे हम 'विरोधाभास' (Contradiction) मेथड से हल करते हैं।
- Step 1: मान लीजिए `√3` एक परिमेय संख्या है।
- Step 2: इसलिए, `√3 = p/q` (जहाँ p और q सह-अभाज्य हैं, `q != 0`)
- Step 3: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
`3 = p^2/q^2`
`3q^2 = p^2` ---(i)
(इसका मतलब है `p^2`, 3 से विभाजित होता है, तो 'p' भी 3 से विभाजित होगा।) - Step 4: तो, हम मान सकते हैं `p = 3c`
- Step 5: 'p' का मान (i) में रखने पर:
`3q^2 = (3c)^2`
`3q^2 = 9c^2`
`q^2 = 3c^2`
(इसका मतलब है `q^2`, 3 से विभाजित होता है, तो 'q' भी 3 से विभाजित होगा।) - Step 6: Step 3 और 5 से, 'p' और 'q' दोनों 3 से विभाजित होते हैं।
- Step 7: यह हमारी 'सह-अभाज्य' वाली धारणा का खंडन (contradicts) करता है।
- Step 8: अतः, हमारी कल्पना गलत थी। `√3` एक अपरिमेय संख्या है। (H.P.)
प्रश्न 4: सांत या असांत की पहचान
प्रश्न: बिना लंबी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि 17/8 और 64/455 सांत (Terminating) हैं या असांत आवर्ती (Non-Terminating Repeating)?
हल (Solution):
1. 17/8 के लिए:
- हर (Denominator) = 8
- 8 का गुणनखंड = `2 × 2 × 2 = 2^3`
- इसे हम `2^3 × 5^0` लिख सकते हैं।
- उत्तर: सांत (Terminating), चूँकि हर `2^n × 5^m` के रूप का है।
2. 64/455 के लिए:
- हर (Denominator) = 455
- 455 का गुणनखंड = `5 × 7 × 13`
- उत्तर: असांत आवर्ती (Non-Terminating Repeating), चूँकि हर में 7 और 13 आ गए हैं।
💡 प्रो-टिप्स: इस चैप्टर में 100% मार्क्स कैसे लाएं?
- कब पढ़ें: यह चैप्टर बहुत आसान है। इसे सेशन की शुरुआत में ही खत्म कर लें ताकि आपका आत्मविश्वास (confidence) बढ़ जाए।
- कैसे प्रैक्टिस करें: सबसे पहले NCERT किताब के सभी 'उदाहरण (Examples)' और 'प्रश्नावली (Exercises)' को खुद हल करें।
- अपरिमेय वाले प्रश्न: `√2`, `√3`, `3+2√5`... इन सवालों को 'रटें' नहीं। इनके steps को समझें और कम से कम 5 बार लिखकर प्रैक्टिस करें। यह 3 नंबर का पक्का सवाल है।
- रिवीजन कब करें:
- मासिक (Monthly): हर महीने सिर्फ 15 मिनट देकर HCF/LCM फॉर्मूले और सांत/असांत वाले नियम को रिवाइज करें।
- परीक्षा से पहले: प्री-बोर्ड और बोर्ड परीक्षा से ठीक पहले, `sqrt(3)` वाले प्रश्न को एक बार फिर लिखकर देख लें।
निष्कर्ष (Conclusion)
'वास्तविक संख्याएँ' (Real Numbers) चैप्टर आपकी कक्षा 10 का सबसे आसान और स्कोरिंग चैप्टर है। बस इन 3-4 कॉन्सेप्ट्स पर पकड़ बना लीजिए और आपके 5-6 नंबर पक्के हैं।
अगर आपको इस चैप्टर में कोई और डाउट है, या आप चाहते हैं कि मैं अगला ब्लॉग 'अध्याय 2: बहुपद (Polynomials)' पर बनाऊं, तो नीचे कमेंट करके जरूर बताएं!
All the best! 👍
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