DDU B.Pharm & D.Pharm Entrance Exam: Important Questions (Part 01) for Math Group

हेलो स्टूडेंट्स! दीन दयाल उपाध्याय (DDU) गोरखपुर विश्वविद्यालय की B.Pharm और D.Pharm प्रवेश परीक्षा की तैयारी के लिए हमारी स्पेशल 'Important Questions Series' के Part 01 में आपका स्वागत है।

इस सीरीज़ में हम आपके लिए वो चुनिंदा और महत्वपूर्ण प्रश्न लेकर आए हैं, जो पिछले वर्षों की परीक्षाओं के पैटर्न पर आधारित हैं और जिनके पूछे जाने की संभावना सबसे अधिक है। इन प्रश्नों का रोज़ाना अभ्यास आपकी तैयारी को और भी मजबूत बनाएगा। आइए, आज के महत्वपूर्ण प्रश्नों से शुरुआत करते हैं:

DDU Gorakhpur B.Pharm & D.Pharm Entrance Exam Most Important Questions

Most Expected Questions (Part 1)

Q1. मानव शरीर की सबसे बड़ी ग्रंथि कौन-सी है? / Which is the largest gland in the human body?
A. अग्न्याशय / Pancreas
B. यकृत / Liver
C. थायरॉयड / Thyroid
D. पिट्यूटरी / Pituitary
Ans. B. यकृत / Liver
Explanation: यकृत (Liver) मानव शरीर की सबसे बड़ी ग्रंथि है और यह पित्त रस का निर्माण करती है। / The liver is the largest gland in the human body and produces bile juice.

Q2. पौधों में प्रकाश संश्लेषण मुख्यतः किस भाग में होता है? / In which part of the plant does photosynthesis mainly occur?
A. जड़ / Root
B. तना / Stem
C. पत्ती / Leaf
D. फूल / Flower
Ans. C. पत्ती / Leaf
Explanation: पत्तियों में क्लोरोफिल पाया जाता है, जो प्रकाश संश्लेषण की प्रक्रिया को संभव बनाता है। / Leaves contain chlorophyll, which enables photosynthesis.

Q3. रक्त का लाल रंग किसके कारण होता है? / The red color of blood is due to which substance?
A. प्लाज्मा / Plasma
B. हीमोग्लोबिन / Hemoglobin
C. प्लेटलेट्स / Platelets
D. श्वेत रक्त कण / White Blood Cells
Ans. B. हीमोग्लोबिन / Hemoglobin
Explanation: हीमोग्लोबिन में लौह तत्व होता है, जो रक्त को लाल रंग प्रदान करता है। / Hemoglobin contains iron, which gives blood its red color.

Q4. विद्युत धारा की SI इकाई क्या है? / What is the SI unit of electric current?
A. वोल्ट / Volt
B. ओम / Ohm
C. एम्पियर / Ampere
D. वाट / Watt
Ans. C. एम्पियर / Ampere
Explanation: विद्युत धारा की SI इकाई एम्पियर (Ampere) है। / The SI unit of electric current is Ampere.

Q5. मानव शरीर में रक्त का शुद्धिकरण किस अंग में होता है? / Which organ purifies blood in the human body?
A. हृदय / Heart
B. फेफड़ा / Lungs
C. यकृत / Liver
D. वृक्क / Kidney
Ans. D. वृक्क / Kidney
Explanation: वृक्क (Kidneys) रक्त से अपशिष्ट पदार्थों को हटाकर उसे शुद्ध करते हैं। / Kidneys remove waste products from the blood and purify it.

Q6. ओजोन परत मुख्यतः किस गैस से बनी होती है? / The ozone layer is mainly composed of which gas?
A. ऑक्सीजन / Oxygen
B. नाइट्रोजन / Nitrogen
C. ओजोन / Ozone
D. कार्बन डाइऑक्साइड / Carbon Dioxide
Ans. C. ओजोन / Ozone
Explanation: ओजोन परत सूर्य की हानिकारक पराबैंगनी किरणों से पृथ्वी की रक्षा करती है। / The ozone layer protects Earth from harmful ultraviolet rays of the Sun.

Q7. ध्वनि निर्वात में क्यों नहीं चल सकती? / Why can sound not travel through a vacuum?
A. अधिक तापमान के कारण / Due to high temperature
B. माध्यम के अभाव में / Due to absence of a medium
C. अधिक दाब के कारण / Due to high pressure
D. कम ऊर्जा के कारण / Due to low energy
Ans. B. माध्यम के अभाव में / Due to absence of a medium
Explanation: ध्वनि एक यांत्रिक तरंग है जिसे संचरण के लिए माध्यम की आवश्यकता होती है। / Sound is a mechanical wave and requires a medium for propagation.

Q8. मानव शरीर की सबसे बड़ी हड्डी कौन-सी है? / Which is the largest bone in the human body?
A. फीमर / Femur
B. टिबिया / Tibia
C. ह्यूमरस / Humerus
D. रेडियस / Radius
Ans. A. फीमर / Femur
Explanation: फीमर जांघ की हड्डी है और मानव शरीर की सबसे लंबी एवं मजबूत हड्डी है। / The femur is the thigh bone and the longest and strongest bone in the human body.

Q9. पृथ्वी के वायुमंडल में सर्वाधिक मात्रा में कौन-सी गैस पाई जाती है? / Which gas is found in the highest proportion in Earth's atmosphere?
A. ऑक्सीजन / Oxygen
B. कार्बन डाइऑक्साइड / Carbon Dioxide
C. नाइट्रोजन / Nitrogen
D. आर्गन / Argon
Ans. C. नाइट्रोजन / Nitrogen
Explanation: पृथ्वी के वायुमंडल में लगभग 78% नाइट्रोजन गैस पाई जाती है। / About 78% of Earth's atmosphere consists of nitrogen.

Q10. विटामिन C का प्रमुख स्रोत क्या है? / What is the major source of Vitamin C?
A. दूध / Milk
B. अंडा / Egg
C. आंवला / Indian Gooseberry (Amla)
D. चावल / Rice
Ans. C. आंवला / Indian Gooseberry (Amla)
Explanation: आंवला विटामिन C का अत्यंत समृद्ध स्रोत माना जाता है। / Amla is considered one of the richest sources of Vitamin C.

Q11. एक मोल (1 mole) में उपस्थित कणों की संख्या कितनी होती है? / How many particles are present in one mole?
A. $6.022\times10^{22}$
B. $6.022\times10^{23}$
C. $3.011\times10^{23}$
D. $1.204\times10^{24}$
Ans. B. $6.022\times10^{23}$
Explanation: एक मोल में उपस्थित कणों की संख्या को एवोगैड्रो संख्या कहते हैं, जिसका मान $6.022\times10^{23}$ होता है। / The number of particles present in one mole is called Avogadro's number, equal to $6.022\times10^{23}$.

Q12. हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन का चौथा क्वांटम संख्या (Spin Quantum Number) क्या दर्शाता है? / What does the spin quantum number represent in an atom?
A. कक्षक का आकार / Shape of orbital
B. कक्षक का अभिविन्यास / Orientation of orbital
C. इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा / Energy of electron
D. इलेक्ट्रॉन के घूर्णन की दिशा / Direction of electron spin
Ans. D. इलेक्ट्रॉन के घूर्णन की दिशा / Direction of electron spin
Explanation: स्पिन क्वांटम संख्या ($m_s$) इलेक्ट्रॉन के स्पिन की दिशा को दर्शाती है, जिसका मान $+\frac{1}{2}$ या $-\frac{1}{2}$ हो सकता है। / The spin quantum number ($m_s$) represents the spin orientation of an electron and can be $+\frac{1}{2}$ or $-\frac{1}{2}$.

Q13. आवर्त सारणी में किसी आवर्त (Period) में बाएँ से दाएँ जाने पर परमाणु त्रिज्या पर क्या प्रभाव पड़ता है? / What happens to atomic radius across a period from left to right?
A. बढ़ती है / Increases
B. घटती है / Decreases
C. स्थिर रहती है / Remains constant
D. पहले बढ़ती फिर घटती है / First increases then decreases
Ans. B. घटती है / Decreases
Explanation: आवर्त में बाएँ से दाएँ जाने पर प्रभावी नाभिकीय आवेश बढ़ता है, जिससे इलेक्ट्रॉन नाभिक की ओर अधिक आकर्षित होते हैं और परमाणु त्रिज्या घटती है। / Across a period, effective nuclear charge increases, pulling electrons closer and decreasing atomic radius.

Q14. निम्नलिखित में से कौन-सा यौगिक मुख्यतः आयनिक बंध (Ionic Bond) द्वारा बना है? / Which of the following compounds is mainly formed by ionic bonding?
A. HCl
B. CH₄
C. NaCl
D. NH₃
Ans. C. NaCl
Explanation: NaCl में सोडियम एक इलेक्ट्रॉन त्यागकर Na⁺ तथा क्लोरीन एक इलेक्ट्रॉन ग्रहण करके Cl⁻ बनाता है। इनके बीच आयनिक बंध बनता है। / In NaCl, sodium loses an electron and chlorine gains one, forming ions held together by ionic bonding.

Q15. आदर्श गैस समीकरण $PV=nRT$ में R क्या कहलाता है? / In the ideal gas equation $PV=nRT$, what is R called?
A. गैस दाब नियतांक / Gas Pressure Constant
B. सार्वत्रिक गैस नियतांक / Universal Gas Constant
C. मोल नियतांक / Mole Constant
D. आयतन नियतांक / Volume Constant
Ans. B. सार्वत्रिक गैस नियतांक / Universal Gas Constant
Explanation: $R$ को Universal Gas Constant कहते हैं, जिसका मान लगभग $8.314\,J\,mol^{-1}K^{-1}$ होता है। / $R$ is the Universal Gas Constant with a value of approximately $8.314\,J\,mol^{-1}K^{-1}$.

Q16. निम्नलिखित में से कौन-सी अभिक्रिया ऊष्माक्षेपी (Exothermic) है? / Which of the following is an exothermic reaction?
A. बर्फ का पिघलना / Melting of ice
B. जल का वाष्पीकरण / Vaporization of water
C. मीथेन का दहन / Combustion of methane
D. NaCl का जल में घुलना (सामान्यतः) / Dissolution of NaCl in water
Ans. C. मीथेन का दहन / Combustion of methane
Explanation: दहन अभिक्रियाओं में ऊष्मा निकलती है, इसलिए वे ऊष्माक्षेपी होती हैं। / Combustion reactions release heat and are therefore exothermic.

Q17. किसी रासायनिक साम्यावस्था (Chemical Equilibrium) पर कौन-सा कथन सही है? / Which statement is correct for chemical equilibrium?
A. अभिक्रिया रुक जाती है / Reaction stops completely
B. केवल अग्र अभिक्रिया चलती है / Only forward reaction occurs
C. अग्र एवं पश्च अभिक्रियाओं की दर समान होती है / Forward and backward reaction rates are equal
D. उत्पाद समाप्त हो जाते हैं / Products disappear
Ans. C. अग्र एवं पश्च अभिक्रियाओं की दर समान होती है / Forward and backward reaction rates are equal
Explanation: साम्यावस्था एक गतिशील अवस्था है जहाँ अग्र और पश्च अभिक्रियाओं की दर समान होती है। / Equilibrium is a dynamic state where forward and reverse reaction rates become equal.

Q18. निम्नलिखित में से कौन-सा सबसे शक्तिशाली अपचायक (Reducing Agent) है? / Which of the following is the strongest reducing agent?
A. Li
B. Na
C. K
D. Cs
Ans. A. Li
Explanation: जलीय विलयन में लिथियम का अपचायक गुण सबसे अधिक होता है क्योंकि इसकी जलयोजन एन्थैल्पी बहुत अधिक होती है। / In aqueous solution, lithium is the strongest reducing agent due to its very high hydration enthalpy.

Q19. निम्नलिखित में से कौन-सा यौगिक एरोमैटिक (Aromatic) है? / Which of the following compounds is aromatic?
A. Cyclohexane
B. Cyclopropane
C. Benzene
D. Propene
Ans. C. Benzene
Explanation: बेंजीन में संयुग्मित $\pi$-इलेक्ट्रॉन प्रणाली होती है तथा यह ह्यूकेल नियम ($4n+2$) का पालन करता है। / Benzene contains a conjugated $\pi$-electron system and follows Hückel's rule ($4n+2$).

Q20. विद्युत अपघटन (Electrolysis) में कैथोड पर कौन-सी प्रक्रिया होती है? / Which process occurs at the cathode during electrolysis?
A. ऑक्सीकरण / Oxidation
B. अपचयन / Reduction
C. उर्ध्वपातन / Sublimation
D. वाष्पीकरण / Vaporization
Ans. B. अपचयन / Reduction
Explanation: कैथोड पर धनायन (Cations) इलेक्ट्रॉन ग्रहण करते हैं, इसलिए वहाँ अपचयन होता है। / At the cathode, cations gain electrons and undergo reduction.

Q21. एथेनॉल (Ethanol) का IUPAC नाम क्या है? / What is the IUPAC name of ethanol?
A. Ethanal
B. Ethanoic Acid
C. Ethene
D. Ethanol
Ans. D. Ethanol
Explanation: दो कार्बन वाले अल्कोहल का IUPAC नाम Ethanol होता है, जिसका सूत्र C₂H₅OH है। / The IUPAC name of the two-carbon alcohol C₂H₅OH is Ethanol.

Q22. निम्नलिखित में से कौन-सा जैव-अणु (Biomolecule) प्रोटीन का निर्माण करता है? / Which biomolecule forms proteins?
A. मोनोसैकराइड / Monosaccharides
B. न्यूक्लियोटाइड / Nucleotides
C. अमीनो अम्ल / Amino Acids
D. वसीय अम्ल / Fatty Acids
Ans. C. अमीनो अम्ल / Amino Acids
Explanation: प्रोटीन अमीनो अम्लों की लंबी श्रृंखलाओं से बने होते हैं जो पेप्टाइड बंधों द्वारा जुड़े रहते हैं। / Proteins are polymers of amino acids linked together by peptide bonds.

Q23. 11 g CO₂ में मोलों की संख्या कितनी होगी? / How many moles are present in 11 g of CO₂?
A. 0.25 mol
B. 0.50 mol
C. 1.00 mol
D. 2.00 mol
Ans. A. 0.25 mol
Explanation: CO₂ का मोलर द्रव्यमान 44 g/mol है। अतः मोलों की संख्या $=\frac{11}{44}=0.25$ mol। / The molar mass of CO₂ is 44 g/mol. Therefore, number of moles $=\frac{11}{44}=0.25$ mol.

Q24. निम्नलिखित में से किस उपकोश (Subshell) में अधिकतम 10 इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं? / Which subshell can accommodate a maximum of 10 electrons?
A. s
B. p
C. d
D. f
Ans. C. d
Explanation: d-उपकोश में 5 कक्षक (orbitals) होते हैं तथा प्रत्येक में अधिकतम 2 इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं। अतः कुल 10 इलेक्ट्रॉन समा सकते हैं। / A d-subshell contains 5 orbitals and each orbital can hold 2 electrons, giving a maximum of 10 electrons.

Q25. निम्नलिखित में से किस तत्व की प्रथम आयनीकरण ऊर्जा (First Ionization Enthalpy) सबसे अधिक है? / Which of the following elements has the highest first ionization enthalpy?
A. Li
B. Be
C. B
D. Ne
Ans. D. Ne
Explanation: निऑन एक उत्कृष्ट गैस है और इसकी इलेक्ट्रॉनिक संरचना अत्यंत स्थिर होती है। इसलिए इसकी आयनीकरण ऊर्जा बहुत अधिक होती है। / Neon is a noble gas with a highly stable electronic configuration, giving it a very high ionization enthalpy.

Q26. NH₃ अणु का आकार (Shape) क्या होता है? / What is the shape of NH₃ molecule?
A. Linear
B. Trigonal Planar
C. Tetrahedral
D. Trigonal Pyramidal
Ans. D. Trigonal Pyramidal
Explanation: NH₃ में नाइट्रोजन पर एक lone pair होता है। VSEPR सिद्धांत के अनुसार इसका आकार त्रिकोणीय पिरामिडीय होता है। / NH₃ contains one lone pair on nitrogen. According to VSEPR theory, its shape is trigonal pyramidal.

Q27. निम्नलिखित में से किस गैस का प्रसरण (Diffusion) सबसे तेज होगा? / Which gas will diffuse the fastest?
A. O₂
B. N₂
C. H₂
D. CO₂
Ans. C. H₂
Explanation: ग्राहम के नियम के अनुसार प्रसरण की दर मोलर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है। H₂ का मोलर द्रव्यमान सबसे कम है। / According to Graham's law, diffusion rate is inversely proportional to the square root of molar mass. H₂ has the lowest molar mass.

Q28. निम्नलिखित में से कौन-सा एक प्रबल अम्ल (Strong Acid) है? / Which of the following is a strong acid?
A. CH₃COOH
B. H₂CO₃
C. HCl
D. H₃BO₃
Ans. C. HCl
Explanation: HCl जल में लगभग पूर्णतः आयनित हो जाता है, इसलिए यह एक प्रबल अम्ल है। / HCl ionizes almost completely in water and is therefore a strong acid.

Q29. निम्नलिखित अभिक्रिया में ऑक्सीकारक (Oxidizing Agent) कौन है?
Zn + CuSO₄ → ZnSO₄ + Cu / In the reaction Zn + CuSO₄ → ZnSO₄ + Cu, identify the oxidizing agent.
A. Zn
B. CuSO₄
C. ZnSO₄
D. Cu
Ans. B. CuSO₄
Explanation: Cu²⁺ आयन इलेक्ट्रॉन ग्रहण करके Cu में परिवर्तित होता है। अतः CuSO₄ ऑक्सीकारक है। / Cu²⁺ ions gain electrons and are reduced to Cu. Hence CuSO₄ acts as the oxidizing agent.

Q30. निम्नलिखित में से कौन-सा s-ब्लॉक तत्व है? / Which of the following is an s-block element?
A. Al
B. Mg
C. Cl
D. Fe
Ans. B. Mg
Explanation: मैग्नीशियम समूह-2 का तत्व है और इसके संयोजक इलेक्ट्रॉन s-कक्षक में होते हैं। / Magnesium belongs to Group 2 and its valence electrons occupy the s-orbital.

Q31. एथीन (Ethene) में कार्बन-कार्बन बंध किस प्रकार का होता है? / What type of bond exists between the two carbon atoms in ethene?
A. एकल बंध / Single bond
B. द्विबंध / Double bond
C. त्रिबंध / Triple bond
D. आयनिक बंध / Ionic bond
Ans. B. द्विबंध / Double bond
Explanation: एथीन (C₂H₄) एक असंतृप्त हाइड्रोकार्बन है जिसमें C=C द्विबंध उपस्थित होता है। / Ethene (C₂H₄) is an unsaturated hydrocarbon containing a C=C double bond.

Q32. यदि किसी विलयन का pH = 3 है, तो वह कैसा होगा? / If a solution has pH = 3, what is its nature?
A. उदासीन / Neutral
B. क्षारीय / Basic
C. अम्लीय / Acidic
D. उभयधर्मी / Amphoteric
Ans. C. अम्लीय / Acidic
Explanation: pH का मान 7 से कम होने पर विलयन अम्लीय होता है। pH = 3 एक प्रबल अम्लीय विलयन को दर्शाता है। / A solution with pH less than 7 is acidic. pH = 3 indicates a strongly acidic solution.

Q33. निम्नलिखित में से कौन-सा एक समन्वय यौगिक (Coordination Compound) है? / Which of the following is a coordination compound?
A. NaCl
B. KNO₃
C. [Cu(NH₃)₄]SO₄
D. CaCO₃
Ans. C. [Cu(NH₃)₄]SO₄
Explanation: इस यौगिक में Cu²⁺ आयन के साथ NH₃ लिगैंड समन्वय बंध बनाते हैं, इसलिए यह समन्वय यौगिक है। / In this compound, NH₃ ligands coordinate with Cu²⁺ ions, making it a coordination compound.

Q34. निम्नलिखित में से कौन-सा बहुलक (Polymer) प्राकृतिक बहुलक है? / Which of the following is a natural polymer?
A. PVC
B. Nylon-6,6
C. Bakelite
D. Starch
Ans. D. Starch
Explanation: स्टार्च ग्लूकोज इकाइयों से बना प्राकृतिक बहुलक है, जबकि PVC, Nylon और Bakelite कृत्रिम बहुलक हैं। / Starch is a natural polymer made of glucose units, whereas PVC, Nylon, and Bakelite are synthetic polymers.

Q35. 0.5 mol H₂SO₄ में ऑक्सीजन परमाणुओं की कुल मोल संख्या कितनी होगी? / How many moles of oxygen atoms are present in 0.5 mol of H₂SO₄?
A. 0.5 mol
B. 1 mol
C. 2 mol
D. 4 mol
Ans. C. 2 mol
Explanation: एक H₂SO₄ अणु में 4 ऑक्सीजन परमाणु होते हैं। अतः 0.5 mol H₂SO₄ में ऑक्सीजन परमाणुओं की मात्रा $0.5\times4=2$ mol होगी। / Each H₂SO₄ molecule contains 4 oxygen atoms. Therefore, 0.5 mol of H₂SO₄ contains $0.5\times4=2$ mol of oxygen atoms.

Q36. निम्नलिखित में से किस कक्षक (Orbital) का आकार डम्बल (Dumbbell) जैसा होता है? / Which orbital has a dumbbell shape?
A. s-orbital
B. p-orbital
C. d-orbital
D. f-orbital
Ans. B. p-orbital
Explanation: s-कक्षक गोलाकार होता है, जबकि p-कक्षक डम्बल आकार का होता है। / The s-orbital is spherical, whereas the p-orbital has a dumbbell shape.

Q37. निम्नलिखित में से किस तत्व की विद्युतऋणात्मकता (Electronegativity) सर्वाधिक है? / Which element has the highest electronegativity?
A. Oxygen
B. Nitrogen
C. Chlorine
D. Fluorine
Ans. D. Fluorine
Explanation: फ्लोरीन आवर्त सारणी का सर्वाधिक विद्युतऋणात्मक तत्व है। / Fluorine is the most electronegative element in the periodic table.

Q38. निम्नलिखित में से कौन-सा अणु ध्रुवीय (Polar) है? / Which of the following molecules is polar?
A. CO₂
B. CH₄
C. BF₃
D. H₂O
Ans. D. H₂O
Explanation: H₂O का आकार V-आकार (Bent Shape) का होता है, जिसके कारण इसका परिणामी द्विध्रुव आघूर्ण शून्य नहीं होता। / H₂O has a bent shape, resulting in a non-zero dipole moment, making it polar.

Q39. आदर्श गैस के लिए निम्न में से कौन-सा कथन सही है? / Which statement is correct for an ideal gas?
A. अणुओं का स्वयं का आयतन होता है / Molecules have significant volume
B. अणुओं के बीच आकर्षण बल होता है / Intermolecular forces exist
C. अणुओं का आयतन नगण्य माना जाता है / Molecular volume is negligible
D. गैस द्रव में परिवर्तित नहीं हो सकती / Gas cannot liquefy
Ans. C. अणुओं का आयतन नगण्य माना जाता है / Molecular volume is negligible
Explanation: आदर्श गैस सिद्धांत में गैस अणुओं का स्वयं का आयतन नगण्य माना जाता है। / In the ideal gas model, the volume occupied by gas molecules is assumed negligible.

Q40. किसी ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया (Exothermic Reaction) के लिए $\Delta H$ का मान कैसा होता है? / For an exothermic reaction, the value of $\Delta H$ is:
A. धनात्मक / Positive
B. ऋणात्मक / Negative
C. शून्य / Zero
D. अनंत / Infinite
Ans. B. ऋणात्मक / Negative
Explanation: ऊष्माक्षेपी अभिक्रियाओं में ऊष्मा बाहर निकलती है, इसलिए $\Delta H$ का मान ऋणात्मक होता है। / Exothermic reactions release heat; therefore, the enthalpy change ($\Delta H$) is negative.

Q41. सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक ($G$) का विमीय सूत्र क्या है? / What is the dimensional formula of the universal gravitational constant ($G$)?
A. $[M^{-1}L^3T^{-2}]$
B. $[M^1L^2T^{-2}]$
C. $[M^1L^3T^{-2}]$
D. $[M^{-1}L^2T^{-2}]$
Ans. A. $[M^{-1}L^3T^{-2}]$
Explanation: न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण नियम से, $F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$ अतः $G = \frac{Fr^2}{m_1m_2}$। विमाएँ (Dimensions) रखने पर: $\frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]$ प्राप्त होता है। / From Newton's law of gravitation, $F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$ hence $G = \frac{Fr^2}{m_1m_2}$. Putting the dimensions: $\frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]$.

Q42. यदि किसी प्रक्षेप्य (Projectile) को क्षैतिज से $45^\circ$ के कोण पर फेंका जाता है, तो उसकी अधिकतम ऊंचाई ($H$) और क्षैतिज परास ($R$) के बीच क्या संबंध होगा? / If a projectile is thrown at an angle of $45^\circ$ with the horizontal, what will be the relation between its maximum height ($H$) and horizontal range ($R$)?
A. $R = H$
B. $R = 2H$
C. $R = 4H$
D. $R = \frac{H}{2}$
Ans. C. $R = 4H$
Explanation: क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ और अधिकतम ऊंचाई $H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$ होती है। जब $\theta = 45^\circ$ हो, तो $\sin(90^\circ) = 1$ और $\sin^2(45^\circ) = \frac{1}{2}$ होता है। इन्हें हल करने पर $R = 4H$ प्राप्त होता है। / Horizontal range $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ and maximum height $H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$. When $\theta = 45^\circ$, $\sin(90^\circ) = 1$ and $\sin^2(45^\circ) = \frac{1}{2}$. Solving this, we get $R = 4H$.

Q43. $a$ त्वरण से ऊपर की ओर जा रही लिफ्ट में खड़े एक व्यक्ति का आभासी भार (Apparent weight) कितना होगा? (जहाँ $m$ व्यक्ति का द्रव्यमान और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है) / What will be the apparent weight of a person standing in an elevator accelerating upwards with an acceleration $a$? (Where $m$ is the mass and $g$ is gravity)
A. $mg$
B. $m(g - a)$
C. $m(g + a)$
D. शून्य / Zero
Ans. C. $m(g + a)$
Explanation: जब लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित (accelerate) होती है, तो व्यक्ति पर लगने वाला छद्म बल (pseudo force) नीचे की ओर काम करता है। इसलिए, आभासी भार = वास्तविक भार + छद्म बल = $mg + ma = m(g + a)$। / When the elevator accelerates upwards, the pseudo force acting on the person acts downwards. Therefore, apparent weight = actual weight + pseudo force = $mg + ma = m(g + a)$.

Q44. एक संरक्षी बल (Conservative force) द्वारा किसी बंद पथ (Closed loop) में किया गया कुल कार्य कितना होता है? / What is the total work done by a conservative force in a closed loop?
A. अधिकतम / Maximum
B. शून्य / Zero
C. ऋणात्मक / Negative
D. पथ के आकार पर निर्भर करता है / Depends on the shape of the path
Ans. B. शून्य / Zero
Explanation: संरक्षी बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण बल या स्थिर वैद्युत बल) द्वारा किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम बिंदु पर निर्भर करता है, पथ पर नहीं। बंद पथ में दोनों बिंदु समान (एक ही जगह) होते हैं, इसलिए कुल कार्य शून्य होता है। / The work done by a conservative force (like gravitational or electrostatic force) depends only on the initial and final points, not on the path taken. In a closed loop, both points are the same, so the total work done is zero.

Q45. पृथ्वी के लिए पलायन वेग ($v_e$) और निकटतम कक्षा में घूमने वाले उपग्रह के कक्षीय वेग ($v_o$) के बीच क्या संबंध है? / What is the relationship between the escape velocity ($v_e$) and the orbital velocity ($v_o$) of a satellite revolving in a near-earth orbit?
A. $v_e = v_o$
B. $v_e = 2v_o$
C. $v_e = \sqrt{2}v_o$
D. $v_e = \frac{v_o}{\sqrt{2}}$
Ans. C. $v_e = \sqrt{2}v_o$
Explanation: पृथ्वी की सतह से पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{2gR}$ है, जबकि निकटतम कक्षा का कक्षीय वेग $v_o = \sqrt{gR}$ होता है। अतः दोनों के बीच सीधा संबंध $v_e = \sqrt{2}v_o$ होता है। / The formula for escape velocity from Earth's surface is $v_e = \sqrt{2gR}$, whereas orbital velocity for a near orbit is $v_o = \sqrt{gR}$. Hence, the direct relation between them is $v_e = \sqrt{2}v_o$.

Q46. बरनौली का सिद्धांत (Bernoulli's principle) भौतिकी के किस संरक्षण नियम पर आधारित है? / Bernoulli's principle is based on which conservation law of physics?
A. द्रव्यमान संरक्षण / Conservation of mass
B. संवेग संरक्षण / Conservation of momentum
C. ऊर्जा संरक्षण / Conservation of energy
D. आवेश संरक्षण / Conservation of charge
Ans. C. ऊर्जा संरक्षण / Conservation of energy
Explanation: बरनौली का प्रमेय आदर्श द्रवों के धारा-रेखी प्रवाह (Streamline flow) के लिए यांत्रिक ऊर्जा (गतिज ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा और दाब ऊर्जा के योग) के संरक्षण को व्यक्त करता है। / Bernoulli's theorem expresses the conservation of mechanical energy (sum of kinetic, potential, and pressure energy) for the streamline flow of an ideal fluid.

Q47. एक कार्नोट इंजन $300\text{ K}$ और $600\text{ K}$ के बीच कार्य कर रहा है। इस इंजन की दक्षता (Efficiency) क्या होगी? / A Carnot engine is working between $300\text{ K}$ and $600\text{ K}$. What will be the efficiency of this engine?
A. $25\%$
B. $50\%$
C. $75\%$
D. $100\%$
Ans. B. $50\%$
Explanation: कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ होती है। यहाँ $T_1 = 600\text{ K}$ (स्रोत/Source) और $T_2 = 300\text{ K}$ (सिंक/Sink) है। $\eta = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$ जिसे प्रतिशत में बदलने पर $50\%$ प्राप्त होगा। / Efficiency of a Carnot engine is $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$. Here $T_1 = 600\text{ K}$ (Source) and $T_2 = 300\text{ K}$ (Sink). $\eta = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0.5 = 0.5$, which in percentage is $50\%$.

Q48. यदि एक सरल लोलक (Simple pendulum) की लंबाई $44\%$ बढ़ा दी जाए, तो उसके आवर्तकाल (Time period) में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी? / If the length of a simple pendulum is increased by $44\%$, what will be the percentage increase in its time period?
A. $10\%$
B. $20\%$
C. $22\%$
D. $44\%$
Ans. B. $20\%$
Explanation: सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ होता है, अर्थात् $T \propto \sqrt{L}$। यदि नई लंबाई $L' = L + 0.44L = 1.44L$ हो जाती है, तो नया आवर्तकाल $T' = \sqrt{1.44}T = 1.2T$ होगा। इसका मतलब आवर्तकाल में $0.2$ भाग यानी $20\%$ की वृद्धि होगी। / Time period $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, meaning $T \propto \sqrt{L}$. If new length becomes $L' = L + 0.44L = 1.44L$, then the new time period $T' = \sqrt{1.44}T = 1.2T$. This means a $0.2$ fractional increase, i.e., a $20\%$ increase in the time period.

Q49. एक आवेशित खोखले चालक गोले (Charged hollow conducting sphere) के अंदर विद्युत क्षेत्र (Electric field) की तीव्रता कितनी होती है? / What is the intensity of the electric field inside a charged hollow conducting sphere?
A. गोले के पृष्ठ के बराबर / Equal to the surface of the sphere
B. शून्य / Zero
C. अनंत / Infinite
D. केंद्र से दूरी के समानुपाती / Proportional to the distance from the center
Ans. B. शून्य / Zero
Explanation: गॉस के नियम (Gauss's Law) के अनुसार, किसी चालक को दिया गया संपूर्ण आवेश उसके बाहरी पृष्ठ (Outer surface) पर एक समान रूप से फैल जाता है। गोले के अंदर कोई आवेश नहीं होता ($q=0$), इसलिए अंदर विद्युत क्षेत्र भी शून्य होता है। / According to Gauss's law, all the charge given to a conductor resides uniformly on its outer surface. There is no charge inside the hollow sphere ($q=0$), so the electric field inside is also zero.

Q50. किरचॉफ का पहला नियम (संधि का नियम / Junction rule) किस भौतिक राशि के संरक्षण पर आधारित है? / Kirchhoff's first law (Junction rule) is based on the conservation of which physical quantity?
A. ऊर्जा / Energy
B. संवेग / Momentum
C. विद्युत आवेश / Electric charge
D. द्रव्यमान / Mass
Ans. C. विद्युत आवेश / Electric charge
Explanation: किरचॉफ का पहला नियम (KCL) यह बताता है कि किसी विद्युत परिपथ में किसी संधि (Junction) पर मिलने वाली सभी धाराओं का बीजगणितीय योग शून्य होता है ($\Sigma I = 0$)। यह मूल रूप से विद्युत आवेश संरक्षण (Conservation of Electric Charge) के सिद्धांत पर आधारित है। / Kirchhoff's first law (KCL) states that the algebraic sum of all currents meeting at a junction in an electrical circuit is zero ($\Sigma I = 0$). This is fundamentally based on the principle of conservation of electric charge.

Q51. $R$ त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार कुंडली में $I$ धारा प्रवाहित हो रही है। इसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र ($B$) का मान क्या होगा? / A circular coil of radius $R$ is carrying a current $I$. What will be the value of the magnetic field ($B$) produced at its center?
A. $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$
B. $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}$
C. $B = \frac{\mu_0 I}{4R}$
D. $B = \frac{\mu_0 I}{\pi R}$
Ans. A. $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$
Explanation: बायो-सावर्ट नियम (Biot-Savart's law) के अनुप्रयोग से, एक वृत्ताकार धारावाही कुंडली के ठीक केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ प्राप्त होता है। (जहाँ $\mu_0$ निर्वात की चुंबकशीलता है)। / From the application of Biot-Savart's law, the formula for the magnetic field exactly at the center of a circular current-carrying coil is $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$. (Where $\mu_0$ is the permeability of free space).

Q52. अनुनाद (Resonance) की स्थिति में एक LCR श्रेणी परिपथ (Series LCR circuit) का शक्ति गुणांक (Power factor) क्या होता है? / What is the power factor of a series LCR circuit in a state of resonance?
A. $0$
B. $0.5$
C. $1$
D. $\infty$
Ans. C. $1$
Explanation: अनुनाद (Resonance) की स्थिति में प्रेरणिक प्रतिघात और धारितीय प्रतिघात आपस में बराबर हो जाते हैं ($X_L = X_C$), जिससे परिपथ पूरी तरह से शुद्ध प्रतिरोधक (Purely Resistive) बन जाता है। इस स्थिति में वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi = 0$ होता है, इसलिए शक्ति गुणांक $\cos(0) = 1$ होता है। / In a state of resonance, inductive and capacitive reactances become equal ($X_L = X_C$), making the circuit purely resistive. In this condition, the phase difference between voltage and current is $\phi = 0$, hence the power factor $\cos(0) = 1$.

Q53. यदि $f$ फोकस दूरी वाले एक उत्तल लेंस (Convex lens) को मुख्य अक्ष के लंबवत (Vertically) दो बराबर भागों में काट दिया जाए, तो प्रत्येक आधे भाग की नई फोकस दूरी क्या होगी? / If a convex lens of focal length $f$ is cut into two equal halves vertically (perpendicular to the principal axis), what will be the new focal length of each half?
A. $f$
B. $2f$
C. $\frac{f}{2}$
D. $4f$
Ans. B. $2f$
Explanation: लेंस निर्माता सूत्र (Lens maker's formula) $\frac{1}{f} = (\mu-1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ के अनुसार, जब लेंस को लंबवत काटा जाता है, तो एक सतह समतल हो जाती है ($R_2 = \infty$)। इस कारण से प्रत्येक हिस्से की फोकस दूरी पहले से दोगुनी ($2f$) हो जाती है। / According to the lens maker's formula $\frac{1}{f} = (\mu-1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$, when the lens is cut vertically, one surface becomes plane ($R_2 = \infty$). Due to this, the focal length of each half becomes double ($2f$) of its original value.

Q54. यदि एक इलेक्ट्रॉन को $V$ वोल्ट के विभवांतर से त्वरित (Accelerated) किया जाता है, तो उसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य (de Broglie wavelength) किसके समानुपाती होगी? / If an electron is accelerated through a potential difference of $V$ volts, its de Broglie wavelength will be proportional to?
A. $V$
B. $\sqrt{V}$
C. $V^{-1}$
D. $V^{-1/2}$
Ans. D. $V^{-1/2}$
Explanation: विभवांतर $V$ से त्वरित आवेशित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ होता है। सूत्र से स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$ जिसे हम $\lambda \propto V^{-1/2}$ भी लिख सकते हैं। / The formula for the de Broglie wavelength of a charged particle accelerated by potential $V$ is $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$. It is clear from the formula that $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$, which can also be written as $\lambda \propto V^{-1/2}$.

Q55. द्रव्यमान संख्या (Mass Number) $8$ और $64$ वाले दो नाभिकों की त्रिज्याओं का अनुपात (Ratio of radii) क्या होगा? / What will be the ratio of the radii of two nuclei with mass numbers $8$ and $64$?
A. $1:2$
B. $1:4$
C. $1:8$
D. $2:1$
Ans. A. $1:2$
Explanation: किसी नाभिक की त्रिज्या उसकी द्रव्यमान संख्या ($A$) के घनमूल के समानुपाती होती है ($R = R_0 A^{1/3}$)। अतः $\frac{R_1}{R_2} = (\frac{A_1}{A_2})^{1/3} = (\frac{8}{64})^{1/3} = (\frac{1}{8})^{1/3} = \frac{1}{2}$ होगा। / The radius of a nucleus is proportional to the cube root of its mass number ($R = R_0 A^{1/3}$). Thus, $\frac{R_1}{R_2} = (\frac{A_1}{A_2})^{1/3} = (\frac{8}{64})^{1/3} = (\frac{1}{8})^{1/3} = \frac{1}{2}$.

Q56. एक P-प्रकार के अर्धचालक (P-type semiconductor) में बहुसंख्यक आवेश वाहक (Majority charge carriers) कौन होते हैं? / Who are the majority charge carriers in a P-type semiconductor?
A. इलेक्ट्रॉन / Electrons
B. होल (कोटर) / Holes
C. प्रोटॉन / Protons
D. न्यूट्रॉन / Neutrons
Ans. B. होल (कोटर) / Holes
Explanation: P-प्रकार का अर्धचालक तब बनता है जब शुद्ध सिलिकॉन या जर्मेनियम में त्रिसंयोजी (trivalent) अशुद्धि (जैसे बोरॉन, एल्युमिनियम) मिलाई जाती है। इस प्रक्रिया में सहसंयोजक बंध में एक इलेक्ट्रॉन की कमी रह जाती है जिसे होल (कोटर) कहते हैं, अतः इसमें होल बहुसंख्यक वाहक होते हैं। / A P-type semiconductor is formed when a trivalent impurity (like Boron, Aluminum) is doped into pure Silicon or Germanium. In this process, there is a deficiency of one electron in the covalent bond, which is called a hole, hence holes act as majority carriers here.

Q57. प्लैंक नियतांक ($h$) का विमीय सूत्र निम्नलिखित में से किस भौतिक राशि के समान होता है? / The dimensional formula of Planck's constant ($h$) is identical to that of which of the following physical quantities?
A. ऊर्जा / Energy
B. रेखीय संवेग / Linear momentum
C. कोणीय संवेग / Angular momentum
D. बल / Force
Ans. C. कोणीय संवेग / Angular momentum
Explanation: प्लैंक नियतांक ($h$) की विमाएँ $[ML^2T^{-1}]$ होती हैं। कोणीय संवेग ($L = mvr$) की विमाएँ भी $[M][LT^{-1}][L] = [ML^2T^{-1}]$ होती हैं। अतः दोनों का विमीय सूत्र एक समान है। / The dimensions of Planck's constant ($h$) are $[ML^2T^{-1}]$. The dimensions of angular momentum ($L = mvr$) are also $[M][LT^{-1}][L] = [ML^2T^{-1}]$. Hence, both have identical dimensional formulas.

Q58. एक कण $r$ त्रिज्या वाले एक अर्धवृत्ताकार पथ (Semi-circular path) को पूरा करता है। इसके द्वारा तय की गई दूरी और विस्थापन का अनुपात क्या होगा? / A particle completes a semi-circular path of radius $r$. What will be the ratio of distance traveled to its displacement?
A. $\pi$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $2\pi$
D. $1$
Ans. B. $\frac{\pi}{2}$
Explanation: अर्धवृत्त में तय की गई कुल दूरी परिधि की आधी ($\pi r$) होती है। जबकि विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम बिंदु के बीच की न्यूनतम दूरी (व्यास = $2r$) होता है। अतः अनुपात = $\frac{\pi r}{2r} = \frac{\pi}{2}$ होगा। / The total distance traveled in a semi-circle is half the circumference ($\pi r$). Whereas displacement is the shortest distance between initial and final points (diameter = $2r$). Thus, the ratio = $\frac{\pi r}{2r} = \frac{\pi}{2}$.

Q59. रॉकेट नोदन (Rocket propulsion) भौतिकी के किस संरक्षण नियम पर कार्य करता है? / Rocket propulsion works on which conservation law of physics?
A. द्रव्यमान संरक्षण / Conservation of mass
B. ऊर्जा संरक्षण / Conservation of energy
C. रेखीय संवेग संरक्षण / Conservation of linear momentum
D. कोणीय संवेग संरक्षण / Conservation of angular momentum
Ans. C. रेखीय संवेग संरक्षण / Conservation of linear momentum
Explanation: रॉकेट का उड़ना न्यूटन के गति के तीसरे नियम और रेखीय संवेग संरक्षण (Conservation of linear momentum) पर आधारित है। बाहर निकलने वाली गैसों का संवेग रॉकेट को आगे की दिशा में समान संवेग प्रदान करता है। / The flight of a rocket is based on Newton's third law of motion and the conservation of linear momentum. The momentum of the exhaust gases provides an equal and opposite momentum to the rocket in the forward direction.

Q60. $m$ और $4m$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों की गतिज ऊर्जा (Kinetic energy) समान है। उनके रेखीय संवेगों (Linear momenta) का अनुपात क्या होगा? / Two bodies of masses $m$ and $4m$ have equal kinetic energies. What will be the ratio of their linear momenta?
A. $1:2$
B. $1:4$
C. $2:1$
D. $4:1$
Ans. A. $1:2$
Explanation: संवेग और गतिज ऊर्जा में संबंध $p = \sqrt{2mK}$ होता है। चूँकि $K$ दोनों के लिए समान है, अतः $p \propto \sqrt{m}$ होगा। इसलिए, $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \sqrt{\frac{m}{4m}} = \frac{1}{2}$ या $1:2$ होगा। / The relation between momentum and kinetic energy is $p = \sqrt{2mK}$. Since $K$ is the same for both, $p \propto \sqrt{m}$. Therefore, $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \sqrt{\frac{m}{4m}} = \frac{1}{2}$ or $1:2$.

Q61. यदि पृथ्वी का द्रव्यमान समान रहे लेकिन वह सिकुड़ कर अपनी वर्तमान त्रिज्या की आधी रह जाए, तो एक दिन की अवधि क्या होगी? / If the Earth shrinks to half of its present radius keeping its mass same, what will be the duration of a day?
A. 6 घंटे / 6 hours
B. 12 घंटे / 12 hours
C. 24 घंटे / 24 hours
D. 48 घंटे / 48 hours
Ans. A. 6 घंटे / 6 hours
Explanation: कोणीय संवेग संरक्षण (Conservation of angular momentum) के अनुसार, $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$ होता है। पृथ्वी एक ठोस गोला है ($I = \frac{2}{5}MR^2$) और $\omega = \frac{2\pi}{T}$। त्रिज्या आधी होने पर जड़त्व आघूर्ण $\frac{1}{4}$ हो जाएगा। इसलिए नया आवर्तकाल $T_2 = \frac{T_1}{4} = \frac{24}{4} = 6$ घंटे होगा। / According to the conservation of angular momentum, $I_1\omega_1 = I_2\omega_2$. Earth is a solid sphere ($I = \frac{2}{5}MR^2$) and $\omega = \frac{2\pi}{T}$. If radius becomes half, moment of inertia becomes $\frac{1}{4}$th. So the new time period $T_2 = \frac{T_1}{4} = \frac{24}{4} = 6$ hours.

Q62. $R$ त्रिज्या और $T$ पृष्ठ तनाव (Surface tension) वाले साबुन के बुलबुले (Soap bubble) के अंदर आधिक्य दाब (Excess pressure) कितना होता है? / What is the excess pressure inside a soap bubble of radius $R$ and surface tension $T$?
A. $\frac{2T}{R}$
B. $\frac{4T}{R}$
C. $\frac{T}{R}$
D. शून्य / Zero
Ans. B. $\frac{4T}{R}$
Explanation: साबुन के बुलबुले में हवा के संपर्क में दो मुक्त पृष्ठ (Two free surfaces) होते हैं (एक अंदर और एक बाहर)। इसलिए इसके अंदर आधिक्य दाब $P = 2 \times (\frac{2T}{R}) = \frac{4T}{R}$ होता है। पानी की बूंद के लिए यह $\frac{2T}{R}$ होता है। / A soap bubble has two free surfaces in contact with air (one inside and one outside). Therefore, the excess pressure inside it is $P = 2 \times (\frac{2T}{R}) = \frac{4T}{R}$. For a water drop, it is $\frac{2T}{R}$.

Q63. ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम ($dQ = dU + dW$) के अनुसार, समतापी प्रक्रम (Isothermal process) में निम्नलिखित में से कौन शून्य होता है? / According to the first law of thermodynamics ($dQ = dU + dW$), which of the following is zero in an isothermal process?
A. किया गया कार्य ($dW$) / Work done ($dW$)
B. दी गई ऊष्मा ($dQ$) / Heat supplied ($dQ$)
C. आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ($dU$) / Change in internal energy ($dU$)
D. उपरोक्त सभी / All of the above
Ans. C. आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ($dU$) / Change in internal energy ($dU$)
Explanation: समतापी प्रक्रम (Isothermal process) में तापमान स्थिर ($T = \text{constant}$) रहता है। चूँकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है, इसलिए तापमान में कोई परिवर्तन न होने के कारण आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन ($dU$) शून्य होता है। / In an isothermal process, the temperature remains constant ($T = \text{constant}$). Since the internal energy of an ideal gas depends only on its temperature, the change in internal energy ($dU$) is zero due to no change in temperature.

Q64. अप्रगामी तरंग (Stationary wave) में दो लगातार निस्पंदों (Consecutive nodes) के बीच की दूरी कितनी होती है? / What is the distance between two consecutive nodes in a stationary wave?
A. $\lambda$
B. $\frac{\lambda}{2}$
C. $\frac{\lambda}{4}$
D. $2\lambda$
Ans. B. $\frac{\lambda}{2}$
Explanation: किसी भी अप्रगामी तरंग में दो लगातार निस्पंदों (Nodes) या दो लगातार प्रस्पंदों (Antinodes) के बीच की दूरी तरंगदैर्ध्य की आधी यानी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। एक निस्पंद और उसके ठीक बगल वाले प्रस्पंद के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ होती है। / In any stationary wave, the distance between two consecutive nodes or two consecutive antinodes is half of the wavelength, i.e., $\frac{\lambda}{2}$. The distance between a node and its adjacent antinode is $\frac{\lambda}{4}$.

Q65. $q$ आवेश वाले एक बिंदु को एक घन (Cube) के ठीक केंद्र पर रखा गया है। घन के किसी भी एक फलक (Face) से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स (Electric flux) क्या होगा? / A point charge $q$ is placed exactly at the center of a cube. What will be the electric flux passing through any one face of the cube?
A. $\frac{q}{\epsilon_0}$
B. $\frac{q}{6\epsilon_0}$
C. $q\epsilon_0$
D. शून्य / Zero
Ans. B. $\frac{q}{6\epsilon_0}$
Explanation: गॉस के नियम के अनुसार, पूरे घन (बंद पृष्ठ) से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\Phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ होता है। चूँकि घन में 6 समान फलक (Faces) होते हैं और आवेश केंद्र में है, इसलिए किसी एक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स कुल फ्लक्स का छठा हिस्सा यानी $\frac{q}{6\epsilon_0}$ होगा। / According to Gauss's law, the total flux passing through the entire cube (closed surface) is $\Phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$. Since a cube has 6 identical faces and the charge is at the center, the flux passing through any one face will be one-sixth of the total flux, i.e., $\frac{q}{6\epsilon_0}$.

Q66. किरचॉफ का वोल्टता नियम (KVL - Kirchhoff's Voltage Law) किस भौतिक राशि के संरक्षण पर आधारित है? / Kirchhoff's Voltage Law (KVL) is based on the conservation of which physical quantity?
A. आवेश / Charge
B. संवेग / Momentum
C. ऊर्जा / Energy
D. द्रव्यमान / Mass
Ans. C. ऊर्जा / Energy
Explanation: किरचॉफ का दूसरा नियम या लूप का नियम (KVL) यह बताता है कि किसी बंद परिपथ (Closed loop) में विभवांतरों का बीजगणितीय योग शून्य होता है ($\Sigma \Delta V = 0$)। यह ऊर्जा संरक्षण (Conservation of Energy) के सिद्धांत का सीधा परिणाम है। / Kirchhoff's second law or loop rule (KVL) states that the algebraic sum of potential differences in any closed loop is zero ($\Sigma \Delta V = 0$). This is a direct consequence of the principle of conservation of energy.

Q67. जब कोई आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र (Magnetic field) में लंबवत (Perpendicular) प्रवेश करता है, तो उसका पथ कैसा होता है? / When a charged particle enters perpendicularly into a uniform magnetic field, what is the shape of its path?
A. सीधी रेखा / Straight line
B. परवलय / Parabola
C. वृत्ताकार / Circular
D. कुंडलिनी / Helix
Ans. C. वृत्ताकार / Circular
Explanation: जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत प्रवेश करता है, तो उस पर लगने वाला लॉरेंज बल ($F = qvB$) कण के वेग के लंबवत होता है। यह बल कण को आवश्यक अभिकेंद्रीय बल (Centripetal force) प्रदान करता है, जिससे कण वृत्ताकार पथ पर घूमने लगता है। / When a charged particle enters perpendicular to a magnetic field, the Lorentz force ($F = qvB$) acting on it is perpendicular to its velocity. This force provides the necessary centripetal force, causing the particle to move in a circular path.

Q68. शुद्ध धारितीय प्रत्यावर्ती परिपथ (Purely capacitive AC circuit) में प्रत्यावर्ती धारा और वोल्टेज के बीच कालांतर (Phase difference) क्या होता है? / What is the phase difference between alternating current and voltage in a purely capacitive AC circuit?
A. वोल्टेज $90^\circ$ आगे रहता है / Voltage leads by $90^\circ$
B. धारा $90^\circ$ आगे रहती है / Current leads by $90^\circ$
C. दोनों समान कला में होते हैं / Both are in phase
D. धारा $90^\circ$ पीछे रहती है / Current lags by $90^\circ$
Ans. B. धारा $90^\circ$ आगे रहती है / Current leads by $90^\circ$
Explanation: शुद्ध संधारित्र (Capacitor) वाले AC परिपथ में, प्रत्यावर्ती धारा (Current) हमेशा वोल्टेज से $90^\circ$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन कला (Phase) में आगे (Lead) रहती है। / In an AC circuit containing only a capacitor, the alternating current always leads the voltage in phase by $90^\circ$ or $\frac{\pi}{2}$ radians.

Q69. रेगिस्तान में मरीचिका (Mirage) का दिखाई देना प्रकाश की किस घटना पर आधारित है? / The appearance of a mirage in deserts is based on which phenomenon of light?
A. व्यतिकरण / Interference
B. विवर्तन / Diffraction
C. प्रकीर्णन / Scattering
D. पूर्ण आंतरिक परावर्तन / Total Internal Reflection
Ans. D. पूर्ण आंतरिक परावर्तन / Total Internal Reflection
Explanation: गर्मियों में रेगिस्तान की सतह के पास की हवा गर्म होकर विरल (Rarefied) हो जाती है। जब प्रकाश किरण ऊपर की ठंडी (सघन) हवा से नीचे की ओर आती है, तो क्रांतिक कोण (Critical angle) पार होने पर उसका पूर्ण आंतरिक परावर्तन (Total Internal Reflection) हो जाता है, जिससे मरीचिका बनती है। / In summer, the air near the desert surface becomes hot and rarefied. When a light ray travels downwards from the cooler (denser) air above, it undergoes Total Internal Reflection upon exceeding the critical angle, forming a mirage.

Q70. प्रकाश वैद्युत प्रभाव (Photoelectric effect) में निरोधी विभव (Stopping potential) मुख्य रूप से किस पर निर्भर करता है? / In the photoelectric effect, the stopping potential mainly depends on what?
A. प्रकाश की तीव्रता पर / Intensity of light
B. आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर / Frequency of incident light
C. प्रकाश के वेग पर / Velocity of light
D. स्रोत की दूरी पर / Distance of the source
Ans. B. आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर / Frequency of incident light
Explanation: आइंस्टीन के प्रकाश वैद्युत समीकरण ($K_{max} = h\nu - \Phi$) के अनुसार, उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा (और फलस्वरूप निरोधी विभव $V_0$) आपतित प्रकाश की आवृत्ति ($\nu$) और धातु की प्रकृति पर निर्भर करता है। यह प्रकाश की तीव्रता (Intensity) पर निर्भर नहीं करता। / According to Einstein's photoelectric equation ($K_{max} = h\nu - \Phi$), the maximum kinetic energy of the emitted electrons (and consequently the stopping potential $V_0$) depends on the frequency ($\nu$) of the incident light and the nature of the metal. It does not depend on the intensity of light.

Q71. अनिश्चित समाकलन $\int e^x \, dx$ का मान क्या होगा? / What will be the value of the indefinite integral $\int e^x \, dx$?
A. $e^x + C$
B. $xe^x + C$
C. $\frac{e^{x+1}}{x+1} + C$
D. $e^{x-1} + C$
Ans. A. $e^x + C$
Explanation: घातांकीय फलन $e^x$ का अवकलज और समाकलन दोनों ही $e^x$ ही होता है। अनिश्चित समाकलन होने के कारण इसमें एक नियतांक (C) जुड़ जाता है। / The exponential function $e^x$ is unique because its derivative and integral are both $e^x$. Since it is an indefinite integral, a constant C is added.

Q72. फलन $y = \sin^{-1} x$ का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ क्या होता है? / What is the derivative $\frac{dy}{dx}$ of the function $y = \sin^{-1} x$?
A. $\frac{1}{1+x^2}$
B. $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
C. $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
D. $\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$
Ans. B. $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Explanation: कलन (Calculus) के मानक सूत्रों के अनुसार, प्रतिलोम ज्या फलन ($\sin^{-1} x$) का अवकलज $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ होता है। / According to the standard formulas of calculus, the derivative of the inverse sine function ($\sin^{-1} x$) is $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Q73. किसी आव्यूह $A$ के परिवर्त (Transpose) का परिवर्त $(A^T)^T$ किसके बराबर होता है? / What is the transpose of the transpose of a matrix $A$, i.e., $(A^T)^T$ equal to?
A. $A^{-1}$
B. $I$ (Identity matrix)
C. $A$
D. $-A$
Ans. C. $A$
Explanation: आव्यूह के परिवर्त के गुणधर्म के अनुसार, यदि किसी आव्यूह की पंक्तियों को स्तंभों में और फिर से स्तंभों को पंक्तियों में बदला जाए, तो मूल आव्यूह ही प्राप्त होता है। / According to the property of the transpose of a matrix, applying the transpose operation twice returns the original matrix $A$.

Q74. सीमा (Limit) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ का मान क्या है? / What is the value of the limit $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$?
A. $0$
B. $1$
C. $\infty$
D. $-1$
Ans. B. $1$
Explanation: यह एक मानक सीमा (standard limit) है। जैसे-जैसे $x$ शून्य के करीब पहुँचता है, $\tan x$ और $x$ का अनुपात 1 के बराबर हो जाता है। (इसे L'Hopital नियम से भी सिद्ध किया जा सकता है)। / This is a fundamental standard limit in calculus. As $x$ approaches $0$, the ratio of $\tan x$ to $x$ evaluates exactly to $1$.

Q75. द्विघात समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ के मूल (Roots) क्या हैं? / What are the roots of the quadratic equation $x^2 - 5x + 6 = 0$?
A. $2, -3$
B. $-2, -3$
C. $2, 3$
D. $-2, 3$
Ans. C. $2, 3$
Explanation: समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 3x - 2x + 6 = 0 \implies x(x - 3) - 2(x - 3) = 0 \implies (x - 2)(x - 3) = 0$। अतः $x = 2$ और $x = 3$। / Factoring the quadratic equation gives $(x - 2)(x - 3) = 0$. Therefore, the roots are $x = 2$ and $x = 3$.

Q76. $\sin 30^\circ \cos 60^\circ + \cos 30^\circ \sin 60^\circ$ का मान क्या होगा? / What will be the value of $\sin 30^\circ \cos 60^\circ + \cos 30^\circ \sin 60^\circ$?
A. $0$
B. $1$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Ans. B. $1$
Explanation: यह सूत्र $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का रूप है। अतः यह $\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1$ के बराबर होगा। / This matches the trigonometric identity $\sin(A + B)$. Substituting the values gives $\sin(30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ$, which equals $1$.

Q77. यदि किसी समुच्चय A में 3 अवयव (elements) हैं, तो उसके उपसमुच्चयों (Subsets) की संख्या क्या होगी? / If a set A has 3 elements, what will be the number of its subsets?
A. $3$
B. $6$
C. $8$
D. $9$
Ans. C. $8$
Explanation: किसी समुच्चय में यदि $n$ अवयव हों, तो उसके कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ होती है। यहाँ $n = 3$, अतः संख्या $2^3 = 8$ होगी। / The number of subsets for a set containing $n$ elements is given by $2^n$. For $n = 3$, the number of subsets is $2^3 = 8$.

Q78. $\tan^{-1}(1)$ का मुख्य मान (Principal value) क्या है? / What is the principal value of $\tan^{-1}(1)$?
A. $\frac{\pi}{2}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{6}$
Ans. C. $\frac{\pi}{4}$
Explanation: चूँकि $\tan 45^\circ$ (या $\frac{\pi}{4}$) का मान $1$ होता है, इसलिए $\tan^{-1}(1)$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{4}$ রেডियन होगा। / Since $\tan(\pi/4) = 1$ and $\pi/4$ lies within the principal value branch $(-\pi/2, \pi/2)$, the principal value of $\tan^{-1}(1)$ is $\pi/4$.

Q79. एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है। ठीक एक 'चित' (Head) आने की प्रायिकता (Probability) क्या है? / A coin is tossed twice. What is the probability of getting exactly one Head?
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $1$
Ans. B. $\frac{1}{2}$
Explanation: कुल परिणाम (Total outcomes) $= \{HH, HT, TH, TT\}$ यानी 4 हैं। ঠিক एक 'चित' वाले परिणाम $\{HT, TH\}$ यानी 2 हैं। प्रायिकता $= \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$। / The sample space is $\{HH, HT, TH, TT\}$. The favorable outcomes are $\{HT, TH\}$. Thus, the probability is $2/4 = 1/2$.

Q80. अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$ की कोटि (Order) क्या है? / What is the order of the differential equation $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$?
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. परिभाषित नहीं / Not defined
Ans. C. $2$
Explanation: किसी अवकल समीकरण की कोटि (Order) उसमें मौजूद उच्चतम अवकलज (highest derivative) की कोटि होती है। यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है, अतः कोटि 2 है। / The order of a differential equation is determined by the highest order derivative present in it. Here, the highest derivative is the second derivative, making the order $2$.

Q81. सदिश $3\hat{i} + 4\hat{j} + 12\hat{k}$ का परिमाण (Magnitude) क्या होगा? / What will be the magnitude of the vector $3\hat{i} + 4\hat{j} + 12\hat{k}$?
A. $19$
B. $13$
C. $5$
D. $144$
Ans. B. $13$
Explanation: सदिश $\vec{a} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ का परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ होता है। अतः $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$। / The magnitude of a vector is calculated by taking the square root of the sum of the squares of its components. $\sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Q82. दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य-बिंदु (Mid-point) के निर्देशांक क्या हैं? / What are the coordinates of the mid-point of the line segment joining two points $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$?
A. $\left(\frac{x_1 - x_2}{2}, \frac{y_1 - y_2}{2}\right)$
B. $(x_1 + x_2, y_1 + y_2)$
C. $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$
D. $\left(\frac{x_1 x_2}{2}, \frac{y_1 y_2}{2}\right)$
Ans. C. $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$
Explanation: निर्देशांक ज्यामिति के मध्य-बिंदु सूत्र (Mid-point formula) के अनुसार, दोनों बिंदुओं के $x$ और $y$ निर्देशांकों के औसत से मध्य-बिंदु प्राप्त होता है। / According to the mid-point formula in coordinate geometry, the coordinates of the mid-point are the averages of the respective $x$ and $y$ coordinates of the two endpoints.

Q83. निश्चित समाकलन $\int_{1}^{2} x^2 \, dx$ का मान क्या होगा? / What will be the value of the definite integral $\int_{1}^{2} x^2 \, dx$?
A. $\frac{7}{3}$
B. $\frac{8}{3}$
C. $3$
D. $\frac{1}{3}$
Ans. A. $\frac{7}{3}$
Explanation: $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$। सीमाएँ $[1, 2]$ रखने पर: $\frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$। / The integration of $x^2$ is $x^3/3$. Applying the upper and lower limits gives $(2^3/3) - (1^3/3) = 8/3 - 1/3 = 7/3$.

Q84. यदि किसी त्रिभुज के शीर्ष $(0,0)$, $(a,0)$ और $(0,b)$ हैं, तो उसका क्षेत्रफल क्या होगा? / If the vertices of a triangle are $(0,0)$, $(a,0)$ and $(0,b)$, what will be its area?
A. $ab$
B. $\frac{1}{2}ab$
C. $a+b$
D. $\frac{1}{2}(a+b)$
Ans. B. $\frac{1}{2}ab$
Explanation: यह एक समकोण त्रिभुज (right-angled triangle) है जिसका आधार $a$ और ऊंचाई $b$ है। अतः इसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2}ab$ होगा। / These vertices form a right-angled triangle with a base of length $a$ and height $b$. The area is thus $1/2 \times base \times height = 1/2 ab$.

Q85. दो समांतर रेखाओं $y = mx + c_1$ और $y = mx + c_2$ के बीच की लंबवत दूरी क्या होती है? / What is the perpendicular distance between two parallel lines $y = mx + c_1$ and $y = mx + c_2$?
A. $\frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{1+m^2}}$
B. $\frac{|c_1 + c_2|}{\sqrt{1+m^2}}$
C. $|c_1 - c_2|$
D. $\frac{|c_1 - c_2|}{1+m^2}$
Ans. A. $\frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{1+m^2}}$
Explanation: दो समांतर रेखाओं $Ax + By + C_1 = 0$ और $Ax + By + C_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है। यहाँ $A=-m, B=1$, जिससे यह सूत्र प्राप्त होता है। / The formula for the distance between two parallel lines translates directly to the difference of their constant terms divided by the square root of $(1 + m^2)$.

Q86. गणित (Mathematics): यदि आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम $A^{-1}$ है, तो $A \cdot A^{-1}$ किसके बराबर होगा? / If $A^{-1}$ is the inverse of matrix $A$, then what is $A \cdot A^{-1}$ equal to?
A. $0$
B. $1$
C. $I$ (तत्समक आव्यूह / Identity Matrix)
D. $A$
Ans. C. $I$ (तत्समक आव्यूह / Identity Matrix)
Explanation: किसी आव्यूह और उसके व्युत्क्रम का गुणनफल हमेशा एक तत्समक आव्यूह (Identity matrix, $I$) होता है। / The product of a matrix and its inverse always results in the identity matrix ($I$) of the same order.

Q87. निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार, $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ होता है यदि $f(x)$ एक: / According to the property of definite integrals, $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ if $f(x)$ is an:
A. सम फलन हो / Even function
B. विषम फलन हो / Odd function
C. अचर फलन हो / Constant function
D. लघुगणकीय फलन हो / Logarithmic function
Ans. B. विषम फलन हो / Odd function
Explanation: यदि $f(-x) = -f(x)$ है (अर्थात् विषम फलन है), तो धनात्मक और ऋणात्मक क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे समाकलन का मान शून्य हो जाता है। / For an odd function, $f(-x) = -f(x)$. The integral from $-a$ to $a$ cancels out, resulting in zero.

Q88. यदि दो गैर-शून्य सदिशों के लिए $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ है, तो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण क्या है? / If $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ for two non-zero vectors, what is the angle between vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$?
A. $0^\circ$
B. $45^\circ$
C. $90^\circ$
D. $180^\circ$
Ans. C. $90^\circ$
Explanation: अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ होता है। यदि गुणनफल 0 है, तो $\cos\theta = 0$, जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^\circ$ (सदिश लंबवत हैं)। / The dot product is zero when the vectors are perpendicular (orthogonal) to each other, meaning the angle between them is $90^\circ$.

Q89. समतल $2x - 3y + 6z - 14 = 0$ की मूल बिंदु $(0,0,0)$ से लंबवत दूरी क्या है? / What is the perpendicular distance of the plane $2x - 3y + 6z - 14 = 0$ from the origin $(0,0,0)$?
A. $2$
B. $14$
C. $7$
D. $1$
Ans. A. $2$
Explanation: मूल बिंदु से दूरी $d = \frac{|d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ होती है। यहाँ $d = \frac{|-14|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{14}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{14}{7} = 2$। / Distance from origin is calculated by dividing the constant term by the magnitude of the normal vector: $14 / \sqrt{49} = 2$.

Q90. यदि $P(A) = 0.3$ और $P(B) = 0.6$ परस्पर स्वतंत्र घटनाएँ (Independent events) हैं, तो $P(A \cap B)$ का मान क्या होगा? / If $P(A) = 0.3$ and $P(B) = 0.6$ are independent events, what is the value of $P(A \cap B)$?
A. $0.9$
B. $0.3$
C. $0.18$
D. $0.5$
Ans. C. $0.18$
Explanation: स्वतंत्र घटनाओं के लिए, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ होता है। अतः $0.3 \times 0.6 = 0.18$। / For independent events, the probability of intersection is the product of their individual probabilities. $0.3 \times 0.6 = 0.18$.

Q91. वक्र $y = e^x$ के बिंदु $(0,1)$ पर अभिलंब (Normal) की प्रवणता (Slope) क्या है? / What is the slope of the normal to the curve $y = e^x$ at the point $(0,1)$?
A. $1$
B. $-1$
C. $e$
D. $0$
Ans. B. $-1$
Explanation: स्पर्श रेखा की प्रवणता $m = \frac{dy}{dx} = e^x$ है। बिंदु $(0,1)$ पर $m = e^0 = 1$। अभिलंब की प्रवणता $= -\frac{1}{m} = -1$ होगी। / The slope of the tangent is $dy/dx = e^0 = 1$. The slope of the normal is the negative reciprocal of the tangent's slope, which is $-1$.

Q92. एक वर्ग आव्यूह (Square matrix) $A$ सममित (Symmetric) कहलाता है यदि: / A square matrix $A$ is called symmetric if:
A. $A^T = -A$
B. $A^T = I$
C. $A^T = A$
D. $A^T = 0$
Ans. C. $A^T = A$
Explanation: यदि किसी आव्यूह का परिवर्त (Transpose) उसी आव्यूह के बराबर हो ($A^T = A$), तो उसे सममित आव्यूह कहा जाता है। / A matrix is symmetric when it is equal to its transpose ($A^T = A$), meaning elements are symmetric across the main diagonal.

Q93. अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) क्या है? / What is the Integrating Factor of the differential equation $\frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$?
A. $e^{-x}$
B. $e^x$
C. $x$
D. $-x$
Ans. B. $e^x$
Explanation: यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का है, जहाँ $P = 1$ है। समाकलन गुणक $\text{IF} = e^{\int P \, dx} = e^{\int 1 \, dx} = e^x$। / The equation is a linear differential equation with $P=1$. The integrating factor is calculated as $e^{\int P \, dx} = e^x$.

Q94. $\sin^{-1}\left(\sin \frac{2\pi}{3}\right)$ का मुख्य मान (Principal value) क्या है? / What is the principal value of $\sin^{-1}\left(\sin \frac{2\pi}{3}\right)$?
A. $\frac{2\pi}{3}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{4\pi}{3}$
D. $-\frac{\pi}{3}$
Ans. B. $\frac{\pi}{3}$
Explanation: $\sin^{-1}$ का मुख्य मान $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में होना चाहिए। $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3})$। अतः मुख्य मान $\frac{\pi}{3}$ है। / The principal branch of $\sin^{-1}$ is $[-\pi/2, \pi/2]$. Since $2\pi/3$ is outside this, we use $\sin(2\pi/3) = \sin(\pi - \pi/3) = \sin(\pi/3)$. Hence, the value is $\pi/3$.

Q95. रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming) में, जिस रैखिक फलन को अधिकतम या न्यूनतम करना होता है, उसे क्या कहते हैं? / In linear programming, the linear function that has to be maximized or minimized is called:
A. व्यवरोध (Constraint)
B. उद्देश्य फलन (Objective function)
C. इष्टतम हल (Optimal solution)
D. सुसंगत क्षेत्र (Feasible region)
Ans. B. उद्देश्य फलन (Objective function)
Explanation: रैखिक प्रोग्रामन समस्या में $Z = ax + by$ के रूप वाले फलन को जिसका इष्टतमीकरण (optimization) करना हो, उद्देश्य फलन कहा जाता है। / The function $Z = ax + by$ which needs to be either maximized or minimized based on certain conditions is termed the objective function.

Q96. अनिश्चित समाकलन $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ का मान क्या है? / What is the value of the indefinite integral $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$?
A. $\cos^{-1} x + C$
B. $\tan^{-1} x + C$
C. $\sin^{-1} x + C$
D. $\sec^{-1} x + C$
Ans. C. $\sin^{-1} x + C$
Explanation: यह एक मानक समाकलन सूत्र है। चूँकि $\frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ होता है, इसलिए इसका समाकलन $\sin^{-1} x + C$ होगा। / This is a standard integration formula. The derivative of $\sin^{-1} x$ yields the integrand, hence the integral is $\sin^{-1} x + C$.

Q97. फलन $f(x) = |x|$ किस बिंदु पर अवकलनीय (Differentiable) नहीं है? / At which point is the function $f(x) = |x|$ not differentiable?
A. $x = 1$
B. $x = -1$
C. $x = 0$
D. यह सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है / It is differentiable at all points
Ans. C. $x = 0$
Explanation: मापांक फलन (Modulus function) $f(x) = |x|$ का ग्राफ $x=0$ पर एक नुकीला कोना (sharp corner) बनाता है, इसलिए इस बिंदु पर बायां अवकलज और दायां अवकलज समान नहीं होते। / The absolute value function $f(x) = |x|$ forms a sharp turn or 'cusp' at $x=0$. Therefore, it does not have a unique tangent there and is not differentiable at $x=0$.

Q98. एक संबंध (Relation) जो स्वतुल्य (Reflexive), सममित (Symmetric) और संक्रामक (Transitive) तीनों होता है, क्या कहलाता है? / A relation which is reflexive, symmetric and transitive is called:
A. सार्वत्रिक संबंध / Universal relation
B. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C. रिक्त संबंध / Empty relation
D. प्रतिसममित संबंध / Anti-symmetric relation
Ans. B. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Explanation: समुच्चय सिद्धांत में, जो संबंध इन तीनों गुणों (Reflexive, Symmetric, Transitive) को संतुष्ट करता है, उसे तुल्यता संबंध कहा जाता है। / In set theory, any relation satisfying all three conditions—reflexivity, symmetry, and transitivity—is defined as an equivalence relation.

Q99. त्रिविमीय सदिशों में $\hat{i} \times (\hat{j} \times \hat{k})$ का मान क्या होगा? / What is the value of $\hat{i} \times (\hat{j} \times \hat{k})$ in 3D vectors?
A. $\hat{i}$
B. $1$
C. $\vec{0}$ (शून्य सदिश)
D. $\hat{j}$
Ans. C. $\vec{0}$ (शून्य सदिश)
Explanation: सदिश गुणनफल के नियमों के अनुसार, $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ होता है। अतः यह $\hat{i} \times \hat{i}$ बन जाता है। किसी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस गुणनफल शून्य सदिश ($\vec{0}$) होता है। / By standard cross product rules, $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$. Then, taking the cross product of a vector with itself gives $\hat{i} \times \hat{i} = \vec{0}$.

Q100. एक लीप वर्ष (Leap year) में 53 रविवार होने की प्रायिकता (Probability) क्या है? / What is the probability of having 53 Sundays in a leap year?
A. $\frac{1}{7}$
B. $\frac{2}{7}$
C. $\frac{3}{7}$
D. $\frac{1}{366}$
Ans. B. $\frac{2}{7}$
Explanation: लीप वर्ष में 366 दिन (52 पूर्ण सप्ताह और 2 अतिरिक्त दिन) होते हैं। 2 अतिरिक्त दिनों के 7 संभव जोड़े हो सकते हैं, जिनमें से 2 जोड़ों (शनि-रवि, रवि-सोम) में रविवार आता है। अतः प्रायिकता $2/7$ है। / A leap year consists of 366 days, which is 52 weeks and 2 extra days. The probability that one of these two consecutive extra days is a Sunday is $2/7$.

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तैयारी के लिए एक छोटा सा टिप (Study Tip)

प्रश्नों को केवल रटें नहीं, बल्कि उनके पीछे के कॉन्सेप्ट को समझने की कोशिश करें। उदाहरण के लिए, अगर एक प्रश्न में सही उत्तर 'यकृत' है, तो बाकी के तीन ऑप्शंस (अग्न्याशय, आमाशय, थायरॉइड) के क्या कार्य हैं, यह भी अपनी किताब से ज़रूर पढ़ें। इससे आपकी एक प्रश्न के साथ चार प्रश्नों की तैयारी हो जाएगी।

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