हेलो स्टूडेंट्स! पिछले चैप्टर 'वृत्त' (Circle) और उसकी 'स्पर्श रेखाओं' (Tangents) को समझने के बाद, अब हम 'वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल' में वृत्त के अंदर के हिस्सों को नापना सीखेंगे।
यह चैप्टर बहुत ही मजेदार और पूरी तरह से फॉर्मूला-आधारित है। इसमें हम सीखेंगे कि एक 'पिज्जा की स्लाइस' (Pizza Slice) या 'चॉकलेट के एक टुकड़े' (Segment) का क्षेत्रफल (Area) कैसे निकालते हैं।
यह चैप्टर स्कोरिंग है क्योंकि इसमें बस 3-4 मुख्य फॉर्मूले हैं जिन्हें याद रखना है।
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| कक्षा 10 गणित: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles) |
तो, चलिए शुरू करते हैं!
🚀 कॉन्सेप्ट 1: वृत्त के मूल फॉर्मूले (Basic Formulas - Revision)
इन दो फॉर्मूलों के बिना यह चैप्टर अधूरा है:
- 1. वृत्त का क्षेत्रफल (Area of Circle): `π * r^2`
- 2. वृत्त की परिधि (Circumference of Circle): `2 * π * r`
(जहाँ `r` = त्रिज्या (radius) और `π = 22/7` या 3.14)
🚀 कॉन्सेप्ट 2: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Area of a Sector) - VVI
त्रिज्यखंड (Sector) क्या है? यह एक 'पिज्जा की स्लाइस' (Pizza Slice) जैसा हिस्सा होता है जो दो त्रिज्याओं (radii) और एक चाप (arc) से घिरा होता है।
इसका क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल (`π*r^2`) का एक हिस्सा (fraction) होता है, जो केंद्र पर बने कोण (angle `θ`) पर निर्भर करता है।
फॉर्मूला (Formula):
(जहाँ `θ` केंद्र पर बना कोण (angle) है)
🚀 कॉन्सेप्ट 3: चाप की लंबाई (Length of an Arc)
चाप (Arc) क्या है? यह परिधि (circumference) का एक टुकड़ा होता है (जैसे पिज्जा स्लाइस का बाहरी किनारा)।
इसकी लंबाई पूरी परिधि (`2*π*r`) का एक हिस्सा होती है।
फॉर्मूला (Formula):
🚀 कॉन्सेप्ट 4: वृत्तखंड का क्षेत्रफल (Area of a Segment) - VVI
वृत्तखंड (Segment) क्या है? यह एक जीवा (chord) और एक चाप (arc) के बीच का हिस्सा होता है (जैसे पिज्जा स्लाइस से त्रिभुज (cone) वाला हिस्सा काट कर अलग कर दें)।
[Image of a Segment of a circle]
इसका कोई सीधा फॉर्मूला नहीं है। इसे निकालने के लिए हम त्रिज्यखंड (Sector) के क्षेत्रफल में से त्रिभुज (Triangle) का क्षेत्रफल घटाते हैं।
फॉर्मूला (Formula):
`Area = (θ/360 × π*r^2) - (Area of Triangle)`
*टिप: यदि `θ=90°` है, तो त्रिभुज `(1/2 × "आधार" × "ऊँचाई")` (या `1/2 × r^2`) होगा। यदि `θ=60°` है, तो यह एक समबाहु त्रिभुज (equilateral triangle) होगा (`(√3/4) × "भुजा"^2`)।
🎯 बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न (Important Questions)
💡 प्रो-टिप: इन फॉर्मूलों को समझने के बाद, यह जानना बहुत ज़रूरी है कि परीक्षा में असली सवाल कैसे आते हैं। आप हमारी इस गाइड से पिछले वर्षों के सभी पेपर डाउनलोड कर सकते हैं:
→ UP Board Class 10 Previous Year Question Papers (All Subjects)
प्रश्न 1: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (Area of Sector)
प्रश्न: 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण 60° है।
हल (Solution):
यहाँ `r = 6 cm` और `θ = 60°`
- `Area = (θ / 360) × π × r^2`
- `Area = (60 / 360) × (22/7) × (6)^2`
- `Area = (1 / 6) × (22/7) × 36`
- `Area = (1 / 6) × (22/7) × 36` (6 से 36 को काटें)
- `Area = (22/7) × 6 = 132/7`
उत्तर: 132/7 cm²
प्रश्न 2: वृत्तखंड का क्षेत्रफल (Area of Segment)
प्रश्न: 10 cm त्रिज्या वाली एक जीवा (chord) केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। संगत लघु वृत्तखंड (minor segment) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)
हल (Solution):
यहाँ `r = 10 cm` और `θ = 90°`
- Step 1 (त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल):
`Area_sector = (90 / 360) × 3.14 × 10^2`
`Area_sector = (1 / 4) × 3.14 × 100`
`Area_sector = 314 / 4 = 78.5 cm^2` - Step 2 (त्रिभुज का क्षेत्रफल):
चूँकि `θ=90°` है, यह एक समकोण त्रिभुज है जिसकी दोनों भुजाएँ त्रिज्या (r) हैं।
`Area_triangle = 1/2 × "आधार" × "ऊँचाई"`
`Area_triangle = 1/2 × r × r = 1/2 × 10 × 10 = 50 cm^2` - Step 3 (वृत्तखंड का क्षेत्रफल):
`Area_segment = Area_sector - Area_triangle`
`Area_segment = 78.5 - 50`
उत्तर: 28.5 cm²
💡 प्रो-टिप्स: इस चैप्टर में 100% मार्क्स कैसे लाएं
- फॉर्मूला ही सब कुछ है: त्रिज्यखंड (Sector) और चाप (Arc) के फॉर्मूले रट लें। दोनों `(θ/360)` से शुरू होते हैं, बस सेक्टर में क्षेत्रफल (`π*r^2`) और चाप में परिधि (`2*π*r`) लगती है।
- वृत्तखंड (Segment) से न डरें: याद रखें, Segment = Sector - Triangle. आपका काम बस त्रिभुज का क्षेत्रफल सही से निकालना है।
- `π` का मान: सवाल में `π = 3.14` दिया है या नहीं, यह जरूर देखें। अगर नहीं दिया है, तो `22/7` का प्रयोग करें।
- छायांकित भाग (Shaded Region): 'छायांकित भाग' वाले सवाल सिर्फ बड़े क्षेत्रफल में से छोटे (बिना छाया वाले) क्षेत्रफल को घटाने (Subtract) वाले सवाल होते हैं। डायग्राम को ध्यान से देखें।
निष्कर्ष (Conclusion)
'वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल' एक बहुत ही स्कोरिंग चैप्टर है। यह आपकी गणना (calculation) और फॉर्मूलों की समझ को परखता है। इसमें महारत हासिल करने के लिए संबंधित NCERT प्रश्नावली की प्रैक्टिस करें।
अगले आर्टिकल में हम 'पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)' पर चर्चा करेंगे, जहाँ हम 3D आकृतियों की दुनिया में जाएँगे!
All the best! 👍
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