Top 100 Most Important MCQs Part 3 for BSc Mathematics Entrance Exam

Top 100 Most Important MCQs Part 3 for BSc Mathematics Entrance Exam: दोस्तों, क्या आप बीएससी मैथमेटिक्स (BSc Mathematics) प्रवेश परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं? अगर हां, तो यह आर्टिकल आपके लिए बहुत ही लाभदायक साबित होने वाला है। इस लेख में गणित के 100 महत्वपूर्ण प्रश्नों को साझा किया गया है जिनके बीएससी प्रवेश परीक्षा में पूछे जाने की संभावना बहुत ज्यादा है। यह GKP Colleges द्वारा साझा किए गए प्रश्न सीरीज का भाग तीन (Part 3) है। अगर आपने अभी तक पहले के भाग नहीं पढ़े हैं, तो उन्हें भी जरूर पढ़ें। आगे 100-100 प्रश्नों के और भी भाग (Parts) शेयर किए जाएंगे इसलिए तुरंत अपडेट पाने के लिए आप हमारे टेलीग्राम ग्रुप या चैनल को ज्वाइन कर सकते हैं।

Top 100 Most Important MCQs Part 3 for BSc Mathematics Entrance Exam

आप चाहे किसी भी विश्वविद्यालय (University) या कॉलेज में बीएससी मैथमेटिक्स कोर्स के लिए प्रवेश परीक्षा देने वाले हों, यह सभी प्रश्न आपके बीएससी प्रवेश परीक्षा के लिए काफी महत्वपूर्ण हैं। यह काफी संभावना है कि इन 100 प्रश्नों में से कई प्रश्न सीधे आपके प्रवेश परीक्षा में पूछ लिए जाएं। इसलिए प्रश्नों को बहुत ही ध्यान से पढ़ें, फॉर्मूलों को समझें और खुद से हल करने का प्रयास करें।

💡 BSc Mathematics Entrance Exam के लिए खास Tips & Tricks:

• फॉर्मूला शीट बनाएं: Calculus, Algebra और Trigonometry के सभी महत्वपूर्ण फॉर्मूलों की एक शॉर्ट लिस्ट तैयार करें और रोज़ रिवीजन करें।
• शॉर्टकट ट्रिक्स (Shortcut Tricks) सीखें: Integration और Matrices के बड़े सवालों को जल्दी हल करने के लिए शॉर्टकट ट्रिक्स का इस्तेमाल करें।
• टाइम मैनेजमेंट: परीक्षा में किसी एक सवाल पर ज्यादा समय न दें। जो प्रश्न आसान लगें उन्हें पहले हल करें।
• पिछले वर्षों के प्रश्न (PYQs): ज्यादा से ज्यादा पुराने प्रश्न पत्रों को सॉल्व करें, इससे आपको परीक्षा के पैटर्न का सही अंदाजा लगेगा।

Top 100 Most Important MCQs Part 3 for BSc Mathematics Entrance Exam

यहां नीचे सभी 100 प्रश्न हिंदी और अंग्रेजी दोनों ही भाषाओं में दिए गए हैं, जिससे आप चाहे किसी भी माध्यम (Medium) के विद्यार्थी हों, प्रश्न को समझने में कोई दिक्कत नहीं आएगी। इस आर्टिकल में प्रश्नों के साथ-साथ उनके सटीक उत्तर भी दिए गए हैं।

Q1. सामान्य विज्ञान (General Science): इंसुलिन (Insulin) की कमी से मानव शरीर में कौन सा रोग होता है? / Which disease is caused by the deficiency of insulin in the human body?
A. स्कर्वी / Scurvy
B. रिकेट्स / Rickets
C. मधुमेह / Diabetes
D. क्षय रोग / Tuberculosis
Ans. C. मधुमेह / Diabetes
Explanation: इंसुलिन एक हार्मोन है जो रक्त में शर्करा (glucose) के स्तर को नियंत्रित करता है। इसकी कमी से मधुमेह (Diabetes) नामक बीमारी हो जाती है। / Insulin is a hormone that regulates blood sugar levels. Its deficiency leads to a condition known as Diabetes.

Q2. वायुमंडल की आर्द्रता (Humidity) मापने के लिए किस उपकरण का उपयोग किया जाता है? / Which instrument is used to measure the humidity of the atmosphere?
A. बैरोमीटर / Barometer
B. हाइग्रोमीटर / Hygrometer
C. एनिमोमीटर / Anemometer
D. गैल्वेनोमीटर / Galvanometer
Ans. B. हाइग्रोमीटर / Hygrometer
Explanation: हाइग्रोमीटर (Hygrometer) का उपयोग हवा, मिट्टी या सीमित स्थानों में जल वाष्प (आर्द्रता) की मात्रा मापने के लिए किया जाता है। / A hygrometer is an instrument used to measure the amount of water vapor (humidity) in air, soil, or confined spaces.

Q3. निर्वात (Vacuum) में प्रकाश की गति कितनी होती है? / What is the speed of light in a vacuum?
A. $3 \times 10^5 \text{ m/s}$
B. $3 \times 10^8 \text{ m/s}$
C. $3 \times 10^6 \text{ m/s}$
D. $3 \times 10^4 \text{ m/s}$
Ans. B. $3 \times 10^8 \text{ m/s}$
Explanation: निर्वात में प्रकाश की गति ब्रह्मांड में सबसे तेज़ ज्ञात गति है, जो लगभग $3 \times 10^8$ मीटर प्रति सेकंड (या 3 लाख किमी/सेकंड) होती है। / The speed of light in a vacuum is the fastest known speed in the universe, approximately $3 \times 10^8$ meters per second.

Q4. कोशिका की 'आत्मघाती थैली' (Suicide bag) किसे कहा जाता है? / What is known as the 'suicide bag' of the cell?
A. राइबोसोम / Ribosome
B. लाइसोसोम / Lysosome
C. माइटोकॉन्ड्रिया / Mitochondria
D. गॉल्जी काय / Golgi apparatus
Ans. B. लाइसोसोम / Lysosome
Explanation: लाइसोसोम में शक्तिशाली पाचक एंजाइम होते हैं। जब कोशिका क्षतिग्रस्त हो जाती है, तो लाइसोसोम फट सकते हैं और एंजाइम अपनी ही कोशिका को पचा लेते हैं। / Lysosomes contain powerful digestive enzymes. If a cell is damaged, they can burst and digest their own cell, hence the name 'suicide bags'.

Q5. भौतिकी में कार्य (Work) और ऊर्जा (Energy) का SI मात्रक क्या है? / What is the SI unit of Work and Energy in physics?
A. न्यूटन / Newton
B. पास्कल / Pascal
C. जूल / Joule
D. वॉट / Watt
Ans. C. जूल / Joule
Explanation: कार्य और ऊर्जा दोनों का अंतर्राष्ट्रीय (SI) मात्रक जूल (Joule) होता है। 1 जूल = 1 न्यूटन × 1 मीटर। / The SI unit for both work and energy is Joule (J). 1 Joule is equal to 1 Newton of force applied over 1 meter of distance.

Q6. साधारण नमक (Common Salt) का रासायनिक सूत्र क्या है? / What is the chemical formula of Common Salt?
A. $KCl$
B. $NaCl$
C. $MgCl_2$
D. $CaCl_2$
Ans. B. $NaCl$
Explanation: साधारण नमक का रासायनिक नाम सोडियम क्लोराइड (Sodium Chloride) है, और इसका सूत्र $NaCl$ होता है। / The chemical name of common table salt is Sodium Chloride, and its chemical formula is $NaCl$.

Q7. एक वयस्क मानव शरीर में कुल कितनी हड्डियां होती हैं? / What is the total number of bones in an adult human body?
A. 200
B. 206
C. 212
D. 300
Ans. B. 206
Explanation: जन्म के समय एक शिशु में लगभग 300 हड्डियां होती हैं, लेकिन जैसे-जैसे वह बड़ा होता है, कुछ हड्डियां आपस में जुड़ जाती हैं और वयस्क होने पर 206 हड्डियां रह जाती हैं। / An infant has around 300 bones, but many fuse together during growth, leaving an adult human with 206 bones.

Q8. रक्त का थक्का (Blood clotting) जमने में कौन सा विटामिन सहायक होता है? / Which vitamin helps in blood clotting?
A. विटामिन A / Vitamin A
B. विटामिन B / Vitamin B
C. विटामिन K / Vitamin K
D. विटामिन E / Vitamin E
Ans. C. विटामिन K / Vitamin K
Explanation: विटामिन K रक्त के थक्के जमने के लिए आवश्यक प्रोटीन (जैसे प्रोथ्रोम्बिन) के निर्माण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। / Vitamin K plays a crucial role in synthesizing proteins (like prothrombin) that are necessary for blood coagulation or clotting.

Q9. पृथ्वी पर पाया जाने वाला सबसे भारी प्राकृतिक तत्त्व (Heaviest naturally occurring element) कौन सा है? / Which is the heaviest naturally occurring element found on Earth?
A. सोना / Gold
B. सीसा / Lead
C. यूरेनियम / Uranium
D. ओस्मियम / Osmium
Ans. C. यूरेनियम / Uranium
Explanation: प्रकृति में पाए जाने वाले तत्वों में यूरेनियम ($U^{92}$) का परमाणु द्रव्यमान सबसे अधिक होता है। ओस्मियम का घनत्व सबसे अधिक होता है, द्रव्यमान नहीं। / Uranium ($U^{92}$) is the element with the highest atomic mass found in nature. Osmium is the densest, but not the heaviest by atomic mass.

Q10. पीलिया (Jaundice) रोग मुख्य रूप से शरीर के किस अंग को प्रभावित करता है? / Jaundice primarily affects which organ of the human body?
A. हृदय / Heart
B. फेफड़े / Lungs
C. गुर्दे (किडनी) / Kidneys
D. यकृत (लीवर) / Liver
Ans. D. यकृत (लीवर) / Liver
Explanation: पीलिया एक ऐसी स्थिति है जिसमें रक्त में बिलीरुबिन का स्तर बढ़ जाता है, जो मुख्य रूप से यकृत (Liver) की शिथिलता या बीमारी के कारण होता है। / Jaundice is caused by an excess of bilirubin in the blood, which primarily indicates dysfunction or disease of the Liver.

Q11. गणित (Mathematics): फलन $y = e^{2x}$ का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ क्या होगा? / What is the derivative $\frac{dy}{dx}$ of the function $y = e^{2x}$?
A. $e^{2x}$
B. $2e^{2x}$
C. $\frac{e^{2x}}{2}$
D. $e^x$
Ans. B. $2e^{2x}$
Explanation: चेन नियम (Chain Rule) के अनुसार: $\frac{d}{dx}(e^{2x}) = e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(2x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$। / Applying the chain rule: The derivative of $e^{u}$ is $e^{u} \cdot u'$. Here $u = 2x$, so the derivative is $e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.

Q12. अनिश्चित समाकलन $\int \frac{1}{x} \, dx$ का मान क्या होता है? / What is the value of the indefinite integral $\int \frac{1}{x} \, dx$?
A. $-\frac{1}{x^2} + C$
B. $x + C$
C. $\log_e |x| + C$
D. $e^x + C$
Ans. C. $\log_e |x| + C$
Explanation: कलन (Calculus) के मानक सूत्र के अनुसार, $1/x$ का समाकलन प्राकृत लघुगणक (natural logarithm) $\log_e |x| + C$ होता है। / According to standard integration formulas in calculus, the integral of $1/x$ with respect to $x$ is the natural logarithm $\log_e |x| + C$.

Q13. किसी भी कोटि के तत्समक आव्यूह (Identity matrix $I$) का सारणिक मान (Determinant value) क्या होता है? / What is the determinant value of an Identity matrix ($I$) of any order?
A. $0$
B. $1$
C. $-1$
D. अनंत / Infinite
Ans. B. $1$
Explanation: तत्समक आव्यूह के मुख्य विकर्ण (main diagonal) के सभी अवयव 1 होते हैं और बाकी सभी शून्य होते हैं। अतः इसका सारणिक मान हमेशा 1 होता है। / The main diagonal elements of an identity matrix are all 1s and the rest are 0s. Hence, the product of the diagonal elements yields a determinant of 1.

Q14. त्रिकोणमिति का मूलभूत सर्वसमिका (identity) $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ किसके बराबर है? / What is the fundamental trigonometric identity $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ equal to?
A. $0$
B. $-1$
C. $1$
D. $\tan^2\theta$
Ans. C. $1$
Explanation: पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर, किसी भी कोण $\theta$ के लिए $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ का मान हमेशा 1 होता है। / Derived from the Pythagorean theorem, for any given angle $\theta$, the sum of the squares of sine and cosine is always exactly 1.

Q15. एक असंभव घटना (Impossible event) की प्रायिकता (Probability) क्या होती है? / What is the probability of an impossible event?
A. $1$
B. $0.5$
C. $-1$
D. $0$
Ans. D. $0$
Explanation: जो घटना कभी घटित हो ही नहीं सकती (जैसे पासे पर 7 आना), उसके अनुकूल परिणामों की संख्या 0 होती है, इसलिए उसकी प्रायिकता $0$ होती है। / An event that cannot occur under any circumstances has 0 favorable outcomes. Therefore, its probability is precisely 0.

Q16. अवकल समीकरण (Differential equation) $\frac{dy}{dx} = x$ की कोटि (Order) क्या है? / What is the order of the differential equation $\frac{dy}{dx} = x$?
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. परिभाषित नहीं / Not defined
Ans. B. $1$
Explanation: कोटि (Order) अवकल समीकरण में मौजूद उच्चतम अवकलज (highest derivative) को दर्शाती है। यहाँ उच्चतम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ है, अतः कोटि 1 है। / The order of a differential equation is the order of the highest derivative it contains. Here, it is the first derivative, so the order is 1.

Q17. असमिकाओं (Inequalities) $x \ge 0$ और $y \ge 0$ द्वारा निरूपित क्षेत्र किस चतुर्थांश (Quadrant) को दर्शाता है? / The region represented by the inequalities $x \ge 0$ and $y \ge 0$ corresponds to which quadrant?
A. प्रथम चतुर्थांश / First quadrant
B. द्वितीय चतुर्थांश / Second quadrant
C. तृतीय चतुर्थांश / Third quadrant
D. चतुर्थ चतुर्थांश / Fourth quadrant
Ans. A. प्रथम चतुर्थांश / First quadrant
Explanation: रैखिक प्रोग्रामन में, $x \ge 0$ और $y \ge 0$ अऋणात्मक व्यवरोध (non-negative constraints) हैं, जो ग्राफ के प्रथम चतुर्थांश को परिभाषित करते हैं। / In coordinate geometry, the conditions where both $x$ and $y$ are positive or zero restrict the permissible area strictly to the first quadrant.

Q18. यदि समुच्चय A में $n$ अवयव हैं, तो A के उपसमुच्चयों (Subsets) की कुल संख्या क्या होगी? / If a set A contains $n$ elements, what will be the total number of subsets of A?
A. $n$
B. $n^2$
C. $2^n$
D. $2n$
Ans. C. $2^n$
Explanation: क्रमचय और संचय के सिद्धांत से, प्रत्येक अवयव के पास उपसमुच्चय में शामिल होने या न होने के 2 विकल्प होते हैं। अतः कुल उपसमुच्चय $2 \times 2 \times \dots (n \text{ बार}) = 2^n$ होंगे। / Each element has two choices: to be included or excluded from a subset. For $n$ elements, the total combinations are $2^n$.

Q19. 3 अलग-अलग वस्तुओं को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल कितने तरीके (Permutations) हैं? / How many total ways (permutations) are there to arrange 3 distinct objects in a row?
A. 3
B. 6
C. 9
D. 1
Ans. B. 6
Explanation: $n$ अलग-अलग वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके $n!$ होते हैं। $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ तरीके। / The number of ways to arrange $n$ distinct items is $n!$ (n factorial). For 3 items, it is $3! = 6$.

Q20. $\sin(\sin^{-1} x)$ का मान क्या होता है? (जहाँ $x \in [-1, 1]$) / What is the value of $\sin(\sin^{-1} x)$? (where $x \in [-1, 1]$)
A. $1$
B. $0$
C. $x$
D. $\frac{1}{x}$
Ans. C. $x$
Explanation: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मूल गुणधर्म के अनुसार, यदि $x$ अपने मुख्य परिसर $[-1, 1]$ में है, तो फलन और उसका प्रतिलोम एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। / By the fundamental property of inverse functions, $f(f^{-1}(x)) = x$ provided $x$ lies within the valid domain. Hence $\sin(\sin^{-1} x) = x$.

Q21. यदि किसी बिंदु $x = c$ पर $f'(c) = 0$ है और $f''(c) > 0$ है, तो वह बिंदु क्या दर्शाता है? / If at a point $x = c$, $f'(c) = 0$ and $f''(c) > 0$, what does that point represent?
A. स्थानीय उच्चतम / Local maximum
B. स्थानीय निम्नतम / Local minimum
C. नतिपरिवर्तन बिंदु / Point of inflection
D. असंतत बिंदु / Point of discontinuity
Ans. B. स्थानीय निम्नतम / Local minimum
Explanation: द्वितीय अवकलज परीक्षण (Second Derivative Test) के अनुसार, यदि $f''(x)$ धनात्मक (positive) है, तो वह बिंदु स्थानीय निम्नतम (minima) होता है। / According to the second derivative test, a positive second derivative at a critical point indicates that the curve is concave up, identifying a local minimum.

Q22. निश्चित समाकलन $\int_{0}^{1} x \, dx$ का मान क्या होगा? / What will be the value of the definite integral $\int_{0}^{1} x \, dx$?
A. $1$
B. $0$
C. $\frac{1}{2}$
D. $2$
Ans. C. $\frac{1}{2}$
Explanation: $x$ का समाकलन $\frac{x^2}{2}$ होता है। सीमाएँ $[0, 1]$ रखने पर: $\frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$। / The integral of $x$ is $x^2/2$. Evaluating it from limits 0 to 1 gives $(1^2/2) - (0^2/2) = 1/2$.

Q23. एक सममित आव्यूह (Symmetric matrix) $A$ के लिए कौन सी शर्त सही है? / Which condition is true for a symmetric matrix $A$?
A. $A^T = -A$
B. $A^T = A$
C. $A^T = A^{-1}$
D. $A^T = 0$
Ans. B. $A^T = A$
Explanation: एक आव्यूह सममित कहलाता है यदि उसका परिवर्त (Transpose) उसी आव्यूह के बराबर हो, यानी $A^T = A$। (यदि $A^T = -A$ हो तो वह विषम सममित होता है)। / A matrix is considered symmetric if it is equal to its transpose, meaning the rows and columns can be swapped without changing the matrix.

Q24. 2D निर्देशांक ज्यामिति में उस रेखा का समीकरण क्या होगा जो X-अक्ष के समांतर है और Y-अक्ष को $c$ दूरी पर काटती है? / In 2D coordinate geometry, what will be the equation of a line parallel to the X-axis and intersecting the Y-axis at a distance $c$?
A. $x = c$
B. $y = c$
C. $x + y = c$
D. $y = mx + c$
Ans. B. $y = c$
Explanation: X-अक्ष के समांतर किसी भी रेखा पर Y-निर्देशांक हमेशा समान रहता है। इसलिए इसका समीकरण $y = c$ होता है। / A line parallel to the X-axis has a constant Y-coordinate for all its points. Thus, its equation is simply $y = c$.

Q25. यदि घटना A के घटित होने की प्रायिकता $P(A)$ है, तो घटना A के घटित *न* होने की प्रायिकता $P(A')$ क्या होगी? / If the probability of occurrence of event A is $P(A)$, what will be the probability of non-occurrence of event A, $P(A')$?
A. $P(A)$
B. $0$
C. $1 - P(A)$
D. $P(A) - 1$
Ans. C. $1 - P(A)$
Explanation: किसी घटना के होने और न होने की कुल प्रायिकता का योग हमेशा 1 होता है। अतः $P(A) + P(A') = 1 \implies P(A') = 1 - P(A)$। / The sum of probabilities of an event happening and not happening is exactly 1. Therefore, $P(A') = 1 - P(A)$.

Q26. गणित (Mathematics): अनिश्चित समाकलन $\int \frac{1}{1+x^2} \, dx$ का मान क्या होगा? / What will be the value of the indefinite integral $\int \frac{1}{1+x^2} \, dx$?
A. $\sin^{-1} x + C$
B. $\tan^{-1} x + C$
C. $\log_e |1+x^2| + C$
D. $\sec^{-1} x + C$
Ans. B. $\tan^{-1} x + C$
Explanation: अवकलन के मानक सूत्रों के अनुसार, $\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = \frac{1}{1+x^2}$ होता है। अतः इसका समाकलन $\tan^{-1} x + C$ होगा। / According to standard calculus formulas, the derivative of $\tan^{-1} x$ is $1/(1+x^2)$. Thus, the integral is $\tan^{-1} x + C$.

Q27. यदि दो गैर-शून्य सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ परस्पर समांतर (Parallel) हैं, तो उनका सदिश गुणनफल (Cross product) क्या होगा? / If two non-zero vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are parallel to each other, what will be their cross product?
A. $1$
B. $|\vec{a}| |\vec{b}|$
C. $\vec{0}$ (शून्य सदिश)
D. $-1$
Ans. C. $\vec{0}$ (शून्य सदिश)
Explanation: समांतर सदिशों के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ या $180^\circ$ होता है। चूँकि $\sin 0^\circ = 0$ है, इसलिए $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta \hat{n} = \vec{0}$ होगा। / For parallel vectors, the angle between them is $0^\circ$ or $180^\circ$. Since $\sin(0) = 0$, their cross product is the zero vector.

Q28. रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming) में, उद्देश्य फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान सुसंगत क्षेत्र (Feasible region) के किस भाग पर प्राप्त होता है? / In Linear Programming, the maximum or minimum value of the objective function is obtained at which part of the feasible region?
A. केंद्र पर / At the center
B. केवल X-अक्ष पर / Only on the X-axis
C. कोणीय बिंदुओं (Corner points) पर / At the corner points
D. क्षेत्र के बाहर / Outside the region
Ans. C. कोणीय बिंदुओं (Corner points) पर / At the corner points
Explanation: कोणीय बिंदु प्रमेय (Corner Point Theorem) के अनुसार, किसी LPP का इष्टतम हल (optimal solution) हमेशा सुसंगत क्षेत्र के शीर्षों या कोणीय बिंदुओं पर ही होता है। / According to the Corner Point Theorem, the optimal solution (maximum or minimum) of an LPP always occurs at the vertices (corner points) of the feasible region.

Q29. निश्चित समाकलन $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx$ का मान क्या है? / What is the value of the definite integral $\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx$?
A. $\frac{\pi}{2}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\pi$
D. $0$
Ans. B. $\frac{\pi}{4}$
Explanation: गुणधर्म $\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx$ का उपयोग करने पर अंश में $\cos x$ आ जाता है। दोनों को जोड़ने पर $2I = \int_0^{\pi/2} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}$, जिससे $I = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है। / Using the definite integral property $\int_0^a f(x)dx = \int_0^a f(a-x)dx$, adding the two integrals gives $2I = \pi/2$, so $I = \pi/4$.

Q30. एक विषम-सममित आव्यूह (Skew-symmetric matrix) के मुख्य विकर्ण (main diagonal) के सभी अवयव कैसे होते हैं? / What are all the elements of the main diagonal of a skew-symmetric matrix?
A. $1$
B. $0$
C. $-1$
D. कोई भी वास्तविक संख्या / Any real number
Ans. B. $0$
Explanation: विषम-सममित आव्यूह के लिए $a_{ij} = -a_{ji}$ होता है। विकर्ण के लिए $i=j$, अतः $a_{ii} = -a_{ii} \implies 2a_{ii} = 0 \implies a_{ii} = 0$। / For a skew-symmetric matrix, $A^T = -A$, which implies $a_{ij} = -a_{ji}$. For diagonal elements, $i=j$, so $a_{ii} = -a_{ii}$, meaning $a_{ii}$ must be 0.

Q31. सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ की दिशा में इकाई सदिश (Unit vector) क्या होगा? / What will be the unit vector in the direction of the vector $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$?
A. $\frac{2}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}$
B. $2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
C. $\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{1}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}$
D. $\frac{2}{5}\hat{i} + \frac{2}{5}\hat{j} + \frac{1}{5}\hat{k}$
Ans. A. $\frac{2}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}$
Explanation: इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ होता है। परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3$। अतः $\hat{a} = \frac{2}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}$। / The unit vector is $\vec{a}/|\vec{a}|$. The magnitude is $\sqrt{4+4+1} = 3$. Dividing each component by 3 gives the unit vector.

Q32. फलन $y = e^{\tan^{-1} x}$ का अवकलज $\frac{dy}{dx}$ क्या है? / What is the derivative $\frac{dy}{dx}$ of the function $y = e^{\tan^{-1} x}$?
A. $\frac{e^{\tan^{-1} x}}{\sqrt{1-x^2}}$
B. $e^{\tan^{-1} x}$
C. $\frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$
D. $\frac{e^{\tan^{-1} x}}{x}$
Ans. C. $\frac{e^{\tan^{-1} x}}{1+x^2}$
Explanation: चेन नियम से, $\frac{d}{dx} e^{\tan^{-1} x} = e^{\tan^{-1} x} \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x) = e^{\tan^{-1} x} \cdot \frac{1}{1+x^2}$। / Using the chain rule, differentiate the exponential function first, then multiply by the derivative of the exponent ($\tan^{-1} x$).

Q33. एक फलन $f: A \to B$ को एकैकी आच्छादक (Bijective) कब कहा जाता है? / When is a function $f: A \to B$ called Bijective?
A. जब वह केवल एकैकी (Injective) हो / When it is only injective
B. जब वह केवल आच्छादक (Surjective) हो / When it is only surjective
C. जब वह एकैकी और आच्छादक दोनों हो / When it is both injective and surjective
D. जब वह बहुएक (Many-one) हो / When it is many-one
Ans. C. जब वह एकैकी और आच्छादक दोनों हो / When it is both injective and surjective
Explanation: कोई फलन एकैकी आच्छादक (Bijective) तभी होता है जब उसके डोमेन का प्रत्येक अवयव सह-डोमेन के अद्वितीय अवयव से जुड़ा हो (एकैकी) और सह-डोमेन का कोई अवयव खाली न हो (आच्छादक)। / A function is bijective if and only if it satisfies both the conditions of being one-one (injective) and onto (surjective).

Q34. वृत्त के क्षेत्रफल ($A$) के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या ($r$) के सापेक्ष क्या होगी, जब $r = 5 \text{ cm}$ है? / What will be the rate of change of the area ($A$) of a circle with respect to its radius ($r$) when $r = 5 \text{ cm}$?
A. $10\pi$
B. $25\pi$
C. $5\pi$
D. $20\pi$
Ans. A. $10\pi$
Explanation: वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है। त्रिज्या के सापेक्ष अवकलन करने पर $dA/dr = 2\pi r$। जब $r=5$ हो, तो $dA/dr = 2\pi(5) = 10\pi$। / Area $A = \pi r^2$. Differentiating w.r.t $r$ gives $dA/dr = 2\pi r$. Substituting $r = 5$ gives $10\pi$.

Q35. अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{x-y}$ का व्यापक हल (General solution) क्या है? / What is the general solution of the differential equation $\frac{dy}{dx} = e^{x-y}$?
A. $e^x - e^y = C$
B. $e^y = e^x + C$
C. $e^{x+y} = C$
D. $y = e^x + C$
Ans. B. $e^y = e^x + C$
Explanation: समीकरण को $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{e^y}$ लिख सकते हैं। चरों को पृथक करने पर $e^y dy = e^x dx$। समाकलन करने पर $e^y = e^x + C$ प्राप्त होता है। / Using variable separable method: $e^y dy = e^x dx$. Integrating both sides gives $e^y = e^x + C$.

Q36. त्रिविमीय ज्यामिति में, किसी रेखा के दिक्-कोसाइन (Direction Cosines) $l, m, n$ के बीच क्या संबंध होता है? / In 3D geometry, what is the relationship between the direction cosines $l, m, n$ of a line?
A. $l + m + n = 1$
B. $l^2 + m^2 + n^2 = 0$
C. $l^2 + m^2 + n^2 = 1$
D. $l + m + n = 0$
Ans. C. $l^2 + m^2 + n^2 = 1$
Explanation: दिक्-कोसाइन उन कोणों के कोसाइन होते हैं जो रेखा अक्षों के साथ बनाती है। उनका वर्गों का योग हमेशा 1 होता है ($\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$)। / The sum of the squares of the direction cosines of any line is always equal to 1.

Q37. एक फलन $f(x)$ बिंदु $x=a$ पर संतत (Continuous) कहलाता है यदि: / A function $f(x)$ is said to be continuous at point $x=a$ if:
A. केवल बायीं सीमा (LHL) $f(a)$ के बराबर हो / Only LHL equals $f(a)$
B. बायीं सीमा (LHL) $\neq$ दायीं सीमा (RHL)
C. LHL = RHL = $f(a)$
D. $f'(a) = 0$
Ans. C. LHL = RHL = $f(a)$
Explanation: सांतत्य (Continuity) की शर्त यह है कि फलन की बायीं सीमा (LHL), दायीं सीमा (RHL) और उस बिंदु पर फलन का मान ($f(a)$) तीनों बराबर होने चाहिए। / For a function to be continuous at a point, its Left Hand Limit, Right Hand Limit, and the value of the function at that point must all be equal.

Q38. किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह (Invertible matrix) A का व्युत्क्रम $A^{-1}$ ज्ञात करने का सूत्र क्या है? / What is the formula to find the inverse $A^{-1}$ of an invertible matrix A?
A. $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$
B. $A^{-1} = |A| \text{adj}(A)$
C. $A^{-1} = \frac{\text{adj}(A)}{A^T}$
D. $A^{-1} = -A$
Ans. A. $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$
Explanation: आव्यूह का व्युत्क्रम निकालने के लिए उसके सहखंडज (adjoint) को सारणिक के मान ($|A|$) से भाग दिया जाता है। / The inverse of a matrix is calculated by multiplying the inverse of its determinant by its adjoint matrix.

Q39. एक पासा (Die) उछाला जाता है। एक अभाज्य संख्या (Prime number) आने की प्रायिकता क्या है? / A die is rolled. What is the probability of getting a prime number?
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$
Ans. C. $\frac{1}{2}$
Explanation: पासे पर कुल परिणाम $\{1,2,3,4,5,6\}$ हैं। अभाज्य संख्याएँ $\{2,3,5\}$ हैं (कुल 3)। अतः प्रायिकता $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है। / Total outcomes = 6. Prime numbers on a die are 2, 3, and 5. Favorable outcomes = 3. Probability = 3/6 = 1/2.

Q40. फलन $\tan^{-1} x$ का डोमेन (Domain) क्या होता है? / What is the domain of the function $\tan^{-1} x$?
A. $[-1, 1]$
B. $(-\infty, \infty)$ या $R$
C. $(0, \infty)$
D. $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
Ans. B. $(-\infty, \infty)$ या $R$
Explanation: $\tan \theta$ का मान किसी भी वास्तविक संख्या तक जा सकता है, इसलिए इसके प्रतिलोम फलन ($\tan^{-1} x$) का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ ($R$) होता है। / The tangent function can take any real value from $-\infty$ to $\infty$. Thus, the domain of its inverse function $\tan^{-1} x$ is the set of all real numbers $R$.

Q41. भौतिक विज्ञान (Physics): एक आवेशित खोखले गोलीय चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता (Electric Field Intensity) कितनी होती है? / What is the electric field intensity inside a charged hollow spherical conductor?
A. अनंत / Infinite
B. शून्य / Zero
C. सतह के बराबर / Equal to the surface
D. सतह से दोगुनी / Double the surface
Ans. B. शून्य / Zero
Explanation: किसी भी चालक के अंदर कोई अतिरिक्त आवेश नहीं रह सकता (सभी आवेश बाहरी सतह पर रहते हैं), इसलिए गाउस के नियम से अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। / All charge resides on the outer surface of a conductor. Since enclosed charge is zero, the electric field inside is also zero.

Q42. किस पदार्थ का प्रतिरोध ताप गुणांक (Temperature coefficient of resistance) ऋणात्मक (negative) होता है? / Which material has a negative temperature coefficient of resistance?
A. चालक (धातुएं) / Conductors (Metals)
B. अर्धचालक / Semiconductors
C. मिश्र धातुएं / Alloys
D. अतिचालक / Superconductors
Ans. B. अर्धचालक / Semiconductors
Explanation: तापमान बढ़ने पर अर्धचालकों (जैसे सिलिकॉन, जर्मेनियम) में सहसंयोजक बंध टूटते हैं, मुक्त इलेक्ट्रॉन बढ़ते हैं और प्रतिरोध घट जाता है। अतः गुणांक ऋणात्मक होता है। / In semiconductors, resistance decreases with an increase in temperature because more charge carriers become available. Thus, the coefficient is negative.

Q43. चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $\vec{v}$ वेग से गतिमान आवेश $q$ पर लगने वाले लोरेंत्ज़ बल (Lorentz force) का सूत्र क्या है? / What is the formula for Lorentz force acting on a charge $q$ moving with velocity $\vec{v}$ in a magnetic field $\vec{B}$?
A. $\vec{F} = q(\vec{v} \cdot \vec{B})$
B. $\vec{F} = q(\vec{B} \times \vec{v})$
C. $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$
D. $\vec{F} = q \frac{\vec{v}}{\vec{B}}$
Ans. C. $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$
Explanation: चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल का सदिश रूप $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ होता है। इसका परिमाण $F = qvB\sin\theta$ होता है और दिशा वेग और क्षेत्र दोनों के लंबवत होती है। / The magnetic force is the cross product of velocity and magnetic field vectors multiplied by the charge.

Q44. एक ऊंचाई ट्रांसफार्मर (Step-up transformer) का उपयोग किस लिए किया जाता है? / What is a step-up transformer used for?
A. वोल्टेज घटाने के लिए / To decrease voltage
B. वोल्टेज बढ़ाने और धारा घटाने के लिए / To increase voltage and decrease current
C. D.C. को A.C. में बदलने के लिए / To convert DC to AC
D. धारा बढ़ाने के लिए / To increase current
Ans. B. वोल्टेज बढ़ाने और धारा घटाने के लिए / To increase voltage and decrease current
Explanation: ऊंचाई (Step-up) ट्रांसफार्मर प्रत्यावर्ती वोल्टेज को बढ़ाता है। ऊर्जा संरक्षण के कारण, वोल्टेज बढ़ने पर परिपथ में धारा स्वतः घट जाती है। / A step-up transformer increases the alternating voltage. Assuming ideal conditions (power remains constant), an increase in voltage leads to a proportional decrease in current.

Q45. निकट दृष्टि दोष (Myopia) को दूर करने के लिए किस प्रकार के लेंस का उपयोग किया जाता है? / Which type of lens is used to correct Myopia (near-sightedness)?
A. उत्तल लेंस / Convex lens
B. अवतल लेंस / Concave lens
C. बेलनाकार लेंस / Cylindrical lens
D. द्वि-फोकसी लेंस / Bifocal lens
Ans. B. अवतल लेंस / Concave lens
Explanation: मायोपिया में प्रतिबिंब रेटिना के आगे बनता है। अवतल (Concave) लेंस प्रकाश किरणों को अपसारित (diverge) कर देता है, जिससे प्रतिबिंब सही जगह (रेटिना) पर बनता है। / In myopia, the image is formed in front of the retina. A concave (diverging) lens is used to shift the focal point back onto the retina.

Q46. रडार (RADAR) प्रणालियों में संचार के लिए मुख्य रूप से किस विद्युत चुम्बकीय तरंग का उपयोग किया जाता है? / Which electromagnetic wave is primarily used for communication in RADAR systems?
A. एक्स-रे / X-rays
B. अवरक्त किरणें / Infrared rays
C. माइक्रोवेव (सूक्ष्म तरंगें) / Microwaves
D. पराबैंगनी किरणें / Ultraviolet rays
Ans. C. माइक्रोवेव (सूक्ष्म तरंगें) / Microwaves
Explanation: माइक्रोवेव की छोटी तरंगदैर्ध्य के कारण वे एक सीधी बीम के रूप में यात्रा कर सकती हैं, जिससे वे रडार (हवाई जहाज और नेविगेशन) के लिए आदर्श बन जाती हैं। / Microwaves have short wavelengths, allowing them to travel in straight lines without scattering much, making them ideal for RADAR.

Q47. P-प्रकार के अर्धचालक (P-type semiconductor) में बहुसंख्यक आवेश वाहक क्या होते हैं? / What are the majority charge carriers in a P-type semiconductor?
A. इलेक्ट्रॉन / Electrons
B. होल्स (विवर) / Holes
C. प्रोटॉन / Protons
D. आयन / Ions
Ans. B. होल्स (विवर) / Holes
Explanation: P-प्रकार के अर्धचालकों को त्रिसंयोजी (trivalent) अशुद्धि (जैसे बोरॉन) मिलाकर बनाया जाता है, जिसमें इलेक्ट्रॉन की कमी (होल) उत्पन्न होती है, जो धनात्मक आवेश वाहक की तरह काम करते हैं। / P-type semiconductors are doped with trivalent impurities, creating a deficiency of electrons (holes) which act as positive majority charge carriers.

Q48. एक फोटॉन का संवेग (Momentum) $p$ और उसकी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच क्या संबंध होता है? / What is the relationship between the momentum $p$ of a photon and its wavelength $\lambda$?
A. $p = h \lambda$
B. $p = \frac{\lambda}{h}$
C. $p = \frac{h}{\lambda}$
D. $p = h c \lambda$
Ans. C. $p = \frac{h}{\lambda}$
Explanation: डी-ब्रोग्ली के समीकरण के अनुसार, $p = \frac{h}{\lambda}$ होता है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है। यह तरंग और कण प्रकृति के बीच का संबंध है। / Derived from the de Broglie equation, the momentum of a photon is inversely proportional to its wavelength, expressed as $p = h/\lambda$.

Q49. सूर्य और अन्य तारों में ऊर्जा उत्पन्न होने का मुख्य कारण क्या है? / What is the primary cause of energy generation in the Sun and other stars?
A. नाभिकीय विखंडन / Nuclear fission
B. रासायनिक दहन / Chemical combustion
C. रेडियोधर्मी क्षय / Radioactive decay
D. नाभिकीय संलयन / Nuclear fusion
Ans. D. नाभिकीय संलयन / Nuclear fusion
Explanation: तारों के केंद्र में अत्यधिक ताप और दाब के कारण हाइड्रोजन के हल्के नाभिक मिलकर हीलियम का भारी नाभिक बनाते हैं (संलयन), जिससे भारी मात्रा में ऊर्जा निकलती है। / In the core of stars, lighter hydrogen nuclei fuse together under extreme temperature and pressure to form a heavier helium nucleus, releasing enormous energy.

Q50. निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंगों की चाल $c$ को किन नियतांकों (constants) द्वारा व्यक्त किया जाता है? / How is the speed of electromagnetic waves $c$ in a vacuum expressed in terms of constants?
A. $c = \sqrt{\mu_0 \epsilon_0}$
B. $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$
C. $c = \mu_0 \epsilon_0$
D. $c = \frac{\mu_0}{\epsilon_0}$
Ans. B. $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$
Explanation: मैक्सवेल के अनुसार, निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंगों (प्रकाश) की चाल निर्वात की चुंबकशीलता ($\mu_0$) और विद्युतशीलता ($\epsilon_0$) पर निर्भर करती है। / According to Maxwell's equations, the speed of light in vacuum is given by $c = 1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}$, linking electromagnetism with optics.

Q51. भौतिक विज्ञान (Physics): केपलर का ग्रहीय गति का दूसरा नियम (क्षेत्रफल का नियम) किस भौतिक राशि के संरक्षण पर आधारित है? / Kepler's second law of planetary motion (law of areas) is based on the conservation of which physical quantity?
A. रेखीय संवेग / Linear momentum
B. कोणीय संवेग / Angular momentum
C. गतिज ऊर्जा / Kinetic energy
D. द्रव्यमान / Mass
Ans. B. कोणीय संवेग / Angular momentum
Explanation: ग्रहों पर लगने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण शून्य होता है, इसलिए उनका कोणीय संवेग संरक्षित रहता है, जिससे ग्रह सूर्य के पास आने पर तेजी से और दूर जाने पर धीमी गति से चलते हैं। / Since the gravitational force acts along the line joining the sun and the planet, the net torque is zero, leading to the conservation of angular momentum.

Q52. कार्नो इंजन (Carnot engine) की दक्षता 100% कब हो सकती है? / When can the efficiency of a Carnot engine be 100%?
A. जब स्रोत का तापमान $0^\circ C$ हो / When source temperature is $0^\circ C$
B. जब सिंक का तापमान परम शून्य ($0 \text{ K}$) हो / When sink temperature is absolute zero ($0 \text{ K}$)
C. जब स्रोत और सिंक का तापमान समान हो / When source and sink temperatures are equal
D. यह कभी 100% नहीं हो सकती / It can never be 100%
Ans. B. जब सिंक का तापमान परम शून्य ($0 \text{ K}$) हो / When sink temperature is absolute zero ($0 \text{ K}$)
Explanation: कार्नो इंजन की दक्षता $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ होती है। दक्षता 1 (या 100%) तभी हो सकती है जब सिंक का ताप $T_2 = 0 \text{ K}$ हो, जो व्यावहारिक रूप से असंभव है। / Efficiency $\eta = 1 - (T_2/T_1)$. To get $\eta = 1$, the sink temperature $T_2$ must be exactly $0 \text{ K}$.

Q53. संधारित्र (Capacitor) की प्लेटों के बीच परावैद्युत (Dielectric) माध्यम भरने पर उसकी धारिता (Capacitance) पर क्या प्रभाव पड़ता है? / What is the effect on the capacitance of a capacitor when a dielectric medium is introduced between its plates?
A. धारिता बढ़ती है / Capacitance increases
B. धारिता घटती है / Capacitance decreases
C. कोई प्रभाव नहीं पड़ता / No effect
D. धारिता शून्य हो जाती है / Capacitance becomes zero
Ans. A. धारिता बढ़ती है / Capacitance increases
Explanation: परावैद्युत पदार्थ डालने से प्लेटों के बीच का विद्युत क्षेत्र कम हो जाता है, जिससे विभवांतर घटता है और धारिता ($C = \frac{q}{V}$) बढ़ जाती है ($C = K \cdot C_0$)। / A dielectric reduces the effective electric field and potential difference, thereby increasing the capacitance by a factor of the dielectric constant ($K$).

Q54. विभवमापी (Potentiometer) का मुख्य उपयोग क्या मापने के लिए किया जाता है? / What is the primary use of a potentiometer?
A. केवल विद्युत धारा / Only electric current
B. सेल का विद्युत वाहक बल (EMF) / Electromotive force (EMF) of a cell
C. केवल उच्च प्रतिरोध / Only high resistance
D. विद्युत शक्ति / Electric power
Ans. B. सेल का विद्युत वाहक बल (EMF) / Electromotive force (EMF) of a cell
Explanation: विभवमापी एक आदर्श उपकरण है क्योंकि संतुलन की स्थिति में यह सेल से कोई धारा नहीं लेता, जिससे सेल का सटीक विद्युत वाहक बल (EMF) मापा जा सकता है। / A potentiometer draws no current from the cell at the null point, making it an ideal instrument for accurately measuring the EMF of a cell.

Q55. अनुचुंबकीय (Paramagnetic) पदार्थों की चुंबकीय प्रवृत्ति (Magnetic susceptibility, $\chi$) कैसी होती है? / How is the magnetic susceptibility ($\chi$) of paramagnetic materials?
A. ऋणात्मक और छोटी / Negative and small
B. धनात्मक और बहुत बड़ी / Positive and very large
C. धनात्मक और छोटी / Positive and small
D. शून्य / Zero
Ans. C. धनात्मक और छोटी / Positive and small
Explanation: अनुचुंबकीय पदार्थ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में हल्के से आकर्षित होते हैं, इसलिए इनकी चुंबकीय प्रवृत्ति धनात्मक और बहुत छोटी होती है। / Paramagnetic materials are weakly attracted by a magnetic field, so their magnetic susceptibility is positive but small.

Q56. एक लंबी परिनालिका (Solenoid) का स्व-प्रेरकत्व (Self-inductance) किसके अनुक्रमानुपाती होता है? / The self-inductance of a long solenoid is directly proportional to:
A. फेरों की संख्या के ($N$) / Number of turns ($N$)
B. फेरों की संख्या के वर्ग के ($N^2$) / Square of the number of turns ($N^2$)
C. धारा के ($I$) / Current ($I$)
D. लंबाई के ($l$) / Length ($l$)
Ans. B. फेरों की संख्या के वर्ग के ($N^2$) / Square of the number of turns ($N^2$)
Explanation: परिनालिका के स्व-प्रेरकत्व का सूत्र $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ होता है। अतः यह फेरों की संख्या के वर्ग ($N^2$) के अनुक्रमानुपाती होता है। / The self-inductance formula for a solenoid is $L = \mu_0 N^2 A / l$. Thus, it is directly proportional to the square of the total number of turns.

Q57. LCR श्रेणी परिपथ (Series LCR circuit) में अनुनादी आवृत्ति (Resonant frequency) का सूत्र क्या है? / What is the formula for resonant frequency in a series LCR circuit?
A. $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
B. $f = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
C. $f = 2\pi \sqrt{LC}$
D. $f = \frac{L}{C}$
Ans. A. $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
Explanation: अनुनाद की स्थिति में प्रेरणिक प्रतिघात और धारितीय प्रतिघात बराबर होते हैं ($X_L = X_C \implies 2\pi f L = \frac{1}{2\pi f C}$), जिससे $f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ प्राप्त होता है। / At resonance, $X_L = X_C$, which leads to $\omega L = 1/(\omega C)$. Solving for frequency gives $f = 1 / (2\pi \sqrt{LC})$.

Q58. यदि किसी उत्तल लेंस (Convex lens) की फोकस दूरी 20 सेमी है, तो उसकी क्षमता (Power) क्या होगी? / If the focal length of a convex lens is 20 cm, what will be its power?
A. $+2D$
B. $-5D$
C. $+5D$
D. $+0.2D$
Ans. C. $+5D$
Explanation: क्षमता $P = \frac{100}{f \text{ (cm)}}$ होती है। उत्तल लेंस की फोकस दूरी धनात्मक होती है, अतः $P = \frac{100}{20} = +5D$ (डायोप्टर)। / Power $P = 100 / f(\text{in cm})$. For a convex lens, focal length is positive, so $P = 100/20 = +5$ Diopters.

Q59. प्रकाश के विवर्तन (Diffraction) के लिए अवरोध या छिद्र (Obstacle or aperture) का आकार कैसा होना चाहिए? / What should be the size of the obstacle or aperture for the diffraction of light to occur?
A. बहुत बड़ा होना चाहिए / Should be very large
B. प्रकाश की तरंगदैर्ध्य की कोटि का होना चाहिए / Of the order of the wavelength of light
C. कुछ भी हो सकता है / Can be anything
D. शून्य होना चाहिए / Should be zero
Ans. B. प्रकाश की तरंगदैर्ध्य की कोटि का होना चाहिए / Of the order of the wavelength of light
Explanation: विवर्तन तभी स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है जब अवरोध या स्लिट का आकार उपयोग किए जा रहे प्रकाश की तरंगदैर्ध्य (Wavelength) के लगभग बराबर हो। / Diffraction is most pronounced when the dimensions of the obstacle or aperture are comparable to the wavelength of the waves.

Q60. प्रकाश-विद्युत प्रभाव (Photoelectric effect) में 'देहली आवृत्ति' (Threshold frequency) क्या है? / What is 'Threshold frequency' in the photoelectric effect?
A. वह अधिकतम आवृत्ति जिससे अधिक पर उत्सर्जन नहीं होता / The max frequency above which emission doesn't occur
B. वह न्यूनतम आवृत्ति जिससे नीचे प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन संभव नहीं है / The minimum frequency below which photoelectric emission is not possible
C. प्रकाश की औसत आवृत्ति / Average frequency of light
D. वह आवृत्ति जहाँ इलेक्ट्रॉन का वेग प्रकाश के वेग के बराबर हो / Frequency where electron velocity equals light speed
Ans. B. वह न्यूनतम आवृत्ति जिससे नीचे प्रकाश-विद्युत उत्सर्जन संभव नहीं है / The minimum frequency below which photoelectric emission is not possible
Explanation: देहली आवृत्ति ($\nu_0$) आपतित प्रकाश की वह न्यूनतम आवृत्ति है जो धातु की सतह से इलेक्ट्रॉनों को बाहर निकालने के लिए आवश्यक होती है। / Threshold frequency is the minimum frequency of incident radiation required to just eject photoelectrons from a metal surface.

Q61. हाइड्रोजन परमाणु के लिए पहली बोहर कक्षा ($n=1$) की ऊर्जा $-13.6 \text{ eV}$ है। दूसरी कक्षा ($n=2$) की ऊर्जा क्या होगी? / The energy of the first Bohr orbit for a hydrogen atom is $-13.6 \text{ eV}$. What will be the energy of the second orbit ($n=2$)?
A. $-27.2 \text{ eV}$
B. $-3.4 \text{ eV}$
C. $-1.51 \text{ eV}$
D. $-6.8 \text{ eV}$
Ans. B. $-3.4 \text{ eV}$
Explanation: हाइड्रोजन परमाणु के n-वें स्तर की ऊर्जा $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ होती है। $n=2$ के लिए, $E_2 = \frac{-13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$। / Energy of the $n$-th orbit is $E_n = -13.6 / n^2 \text{ eV}$. For $n=2$, the energy is $-13.6 / 4 = -3.4 \text{ eV}$.

Q62. वे नाभिक (Nuclei) जिनमें न्यूट्रॉनों की संख्या समान होती है लेकिन प्रोटॉनों की संख्या भिन्न होती है, क्या कहलाते हैं? / Nuclei having the same number of neutrons but different number of protons are called:
A. समस्थानिक / Isotopes
B. समभारी / Isobars
C. समन्यूट्रॉनिक / Isotones
D. समावयवी / Isomers
Ans. C. समन्यूट्रॉनिक / Isotones
Explanation: जिन नाभिकों में न्यूट्रॉनों की संख्या ($A-Z$) समान होती है, उन्हें समन्यूट्रॉनिक (Isotones) कहा जाता है। / Isotones are atoms of different elements that have the same number of neutrons but different number of protons and mass numbers.

Q63. जेनर डायोड (Zener diode) का मुख्य रूप से किस बायस (Bias) में वोल्टेज रेगुलेटर के रूप में उपयोग किया जाता है? / In which bias is a Zener diode primarily used as a voltage regulator?
A. अग्र बायस / Forward bias
B. उत्क्रम बायस / Reverse bias
C. शून्य बायस / Zero bias
D. दोनों बायस में समान रूप से / Equally in both biases
Ans. B. उत्क्रम बायस / Reverse bias
Explanation: जेनर डायोड को विशेष रूप से उत्क्रम बायस (Reverse bias) में ब्रेकडाउन वोल्टेज पर काम करने के लिए डिज़ाइन किया जाता है, जहाँ यह वोल्टेज को स्थिर रखता है। / A Zener diode is heavily doped and designed to operate reliably in the reverse breakdown region to regulate voltage.

Q64. आयनमंडल (Ionosphere) द्वारा मुख्य रूप से किस आवृत्ति परास (Frequency range) की रेडियो तरंगें परावर्तित होती हैं? / Which frequency range of radio waves is primarily reflected by the ionosphere?
A. $3 \text{ kHz}$ से $30 \text{ kHz}$ (VLF)
B. $3 \text{ MHz}$ से $30 \text{ MHz}$ (HF - Sky waves)
C. $30 \text{ MHz}$ से $300 \text{ MHz}$ (VHF)
D. $300 \text{ MHz}$ से अधिक (UHF)
Ans. B. $3 \text{ MHz}$ से $30 \text{ MHz}$ (HF - Sky waves)
Explanation: आकाश तरंग संचार (Sky wave propagation) में आयनमंडल $3 \text{ MHz}$ से $30 \text{ MHz}$ की उच्च आवृत्ति (HF) तरंगों को वापस पृथ्वी पर परावर्तित कर देता है। / The ionosphere reflects High Frequency (HF) radio waves lying between $3 \text{ MHz}$ and $30 \text{ MHz}$, enabling long-distance sky wave propagation.

Q65. निर्वात की विद्युतशीलता ($\epsilon_0$) का SI मात्रक (SI Unit) क्या है? / What is the SI unit of permittivity of free space ($\epsilon_0$)?
A. $\text{N m}^2 \text{ C}^{-2}$
B. $\text{C}^2 \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}$
C. $\text{V m}^{-1}$
D. $\text{F m}$
Ans. B. $\text{C}^2 \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}$
Explanation: कूलॉम के नियम $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ से, $\epsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4\pi F r^2}$ होता है। अतः मात्रक $\text{C}^2 / (\text{N m}^2)$ या $\text{C}^2 \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}$ होता है। / From Coulomb's law, solving for $\epsilon_0$ gives the unit as $\text{Coulomb}^2 / (\text{Newton} \cdot \text{meter}^2)$.

Q66. वृत्ताकार मार्ग पर $v$ वेग से गतिमान $m$ द्रव्यमान के किसी कण पर लगने वाले अभिकेंद्र बल (Centripetal force) का सूत्र क्या है? / What is the formula for the centripetal force acting on a particle of mass $m$ moving with velocity $v$ in a circular path of radius $r$?
A. $mvr$
B. $\frac{mv^2}{r}$
C. $m \omega^2 r^2$
D. $\frac{mv}{r^2}$
Ans. B. $\frac{mv^2}{r}$
Explanation: वृत्तीय गति बनाए रखने के लिए केंद्र की ओर लगने वाला आवश्यक बल अभिकेंद्र बल कहलाता है, जिसका मान $F_c = \frac{mv^2}{r}$ होता है। / The centripetal force required to keep an object moving in a circle of radius $r$ at a constant speed $v$ is $mv^2/r$.

Q67. कार्य-ऊर्जा प्रमेय (Work-Energy Theorem) के अनुसार, किसी वस्तु पर लगाए गए कुल बल द्वारा किया गया कार्य किसके बराबर होता है? / According to the Work-Energy Theorem, the work done by the net force acting on an object is equal to:
A. स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन / Change in potential energy
B. कुल ऊर्जा / Total energy
C. गतिज ऊर्जा में परिवर्तन / Change in kinetic energy
D. संवेग में परिवर्तन / Change in momentum
Ans. C. गतिज ऊर्जा में परिवर्तन / Change in kinetic energy
Explanation: कार्य-ऊर्जा प्रमेय यह सिद्ध करती है कि सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य ($W_{net}$) वस्तु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन ($\Delta K$) के बराबर होता है। / The work-energy theorem states that the net work done on an object equals its change in kinetic energy ($W = K_f - K_i$).

Q68. हुक का नियम (Hooke's Law) किस सीमा के भीतर लागू होता है? / Hooke's Law is applicable within which limit?
A. प्लास्टिक सीमा / Plastic limit
B. प्रत्यास्थता सीमा / Elastic limit
C. भंजन बिंदु / Breaking point
D. पराभव बिंदु / Yield point
Ans. B. प्रत्यास्थता सीमा / Elastic limit
Explanation: हुक के नियम के अनुसार, प्रत्यास्थता सीमा (Elastic limit) के भीतर ही प्रतिबल (Stress), विकृति (Strain) के समानुपाती होता है। / Hooke's Law states that the strain of the material is proportional to the applied stress, but only within the elastic limit of that material.

Q69. ज्यूरिन के नियम (Jurin's Law) के अनुसार, केशनलिका (Capillary tube) में द्रव के चढ़ने की ऊंचाई ($h$) और केशनलिका की त्रिज्या ($r$) के बीच क्या संबंध है? / According to Jurin's Law, what is the relationship between the height ($h$) of liquid rise in a capillary tube and the radius ($r$) of the tube?
A. $h \propto r$
B. $h \propto r^2$
C. $h \propto \frac{1}{r}$
D. $h \propto \frac{1}{r^2}$
Ans. C. $h \propto \frac{1}{r}$
Explanation: केशिकात्व (Capillarity) का सूत्र $h = \frac{2T \cos\theta}{r \rho g}$ है। अतः द्रव के चढ़ने की ऊंचाई नली की त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है ($h \propto 1/r$)। / Jurin's Law dictates that the height to which a liquid rises in a capillary tube is inversely proportional to the radius of the tube.

Q70. गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार, गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग (RMS velocity) परम ताप ($T$) के साथ कैसे बदलता है? / According to the kinetic theory of gases, how does the root mean square (RMS) velocity of gas molecules vary with absolute temperature ($T$)?
A. $v_{rms} \propto T$
B. $v_{rms} \propto T^2$
C. $v_{rms} \propto \frac{1}{T}$
D. $v_{rms} \propto \sqrt{T}$
Ans. D. $v_{rms} \propto \sqrt{T}$
Explanation: $v_{rms}$ का सूत्र $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ होता है। इसलिए, गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग परम ताप के वर्गमूल ($\sqrt{T}$) के अनुक्रमानुपाती होता है। / The RMS velocity of gas molecules is given by $\sqrt{3RT/M}$, meaning it is directly proportional to the square root of the absolute temperature.

Q71. रसायन विज्ञान (Chemistry): क्रिस्टल जालक में फ्रेंकल दोष (Frenkel defect) के कारण क्रिस्टल के घनत्व (Density) पर क्या प्रभाव पड़ता है? / What is the effect of Frenkel defect on the density of a crystal lattice?
A. घनत्व घटता है / Density decreases
B. घनत्व बढ़ता है / Density increases
C. घनत्व समान रहता है / Density remains the same
D. घनत्व शून्य हो जाता है / Density becomes zero
Ans. C. घनत्व समान रहता है / Density remains the same
Explanation: फ्रेंकल दोष में आयन (आमतौर पर धनायन) अपने जालक स्थल से हटकर अंतराकाशी स्थल (interstitial site) में चले जाते हैं। चूंकि क्रिस्टल से कोई आयन बाहर नहीं जाता, इसलिए घनत्व समान रहता है। / In a Frenkel defect, an ion merely dislocates to an interstitial site within the crystal. No mass is lost, so the overall density remains unaffected.

Q72. विलयन के क्वथनांक में उन्नयन (Elevation in boiling point, $\Delta T_b$) और मोललता ($m$) के बीच क्या संबंध है? / What is the relationship between elevation in boiling point ($\Delta T_b$) and molality ($m$) of a solution?
A. $\Delta T_b = \frac{K_b}{m}$
B. $\Delta T_b = K_b \cdot m$
C. $\Delta T_b = K_b + m$
D. $\Delta T_b = K_b \cdot m^2$
Ans. B. $\Delta T_b = K_b \cdot m$
Explanation: राउल्ट के नियम के अनुसार, तनु विलयनों के लिए क्वथनांक में उन्नयन विलयन की मोलल सांद्रता (मोललता $m$) के सीधे समानुपाती होता है, जहाँ $K_b$ मोलल उन्नयन स्थिरांक है। / The elevation of boiling point is directly proportional to the molal concentration of the solute in a dilute solution, expressed as $\Delta T_b = K_b \cdot m$.

Q73. विद्युतरसायन में, एक फैराडे (1 Faraday) विद्युत आवेश का मान लगभग कितने कूलॉम (Coulomb) के बराबर होता है? / In electrochemistry, the value of one Faraday (1 F) of electric charge is approximately equal to how many Coulombs?
A. $96500 \text{ C}$
B. $1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
C. $6.022 \times 10^{23} \text{ C}$
D. $10000 \text{ C}$
Ans. A. $96500 \text{ C}$
Explanation: एक फैराडे आवेश एक मोल (Avogadro number) इलेक्ट्रॉनों पर उपस्थित कुल आवेश के बराबर होता है, जिसका मान लगभग $96500$ कूलॉम ($96485 \text{ C}$ सटीक) होता है। / One Faraday is the total electric charge carried by one mole of electrons, which is approximately equal to $96500$ Coulombs.

Q74. आर्हेनियस सिद्धांत के अनुसार, उत्प्रेरक (Catalyst) के उपयोग से किसी रासायनिक अभिक्रिया की दर कैसे बढ़ती है? / According to the Arrhenius principle, how does the use of a catalyst increase the rate of a chemical reaction?
A. तापमान बढ़ाकर / By increasing the temperature
B. टक्करों की संख्या बढ़ाकर / By increasing the number of collisions
C. सक्रियण ऊर्जा को कम करके / By decreasing the activation energy
D. सक्रियण ऊर्जा को बढ़ाकर / By increasing the activation energy
Ans. C. सक्रियण ऊर्जा को कम करके / By decreasing the activation energy
Explanation: एक धनात्मक उत्प्रेरक अभिक्रिया के लिए एक वैकल्पिक पथ प्रदान करता है जिसकी सक्रियण ऊर्जा (Activation energy) कम होती है, जिससे उत्पाद जल्दी बनते हैं। / A catalyst increases the reaction rate by providing an alternative reaction pathway with a lower activation energy, allowing more molecules to react.

Q75. कोलाइडल विलयन से घुलनशील अशुद्धियों को अर्धपारगम्य झिल्ली (Semi-permeable membrane) द्वारा अलग करने की प्रक्रिया को क्या कहते हैं? / The process of separating soluble impurities from a colloidal solution using a semi-permeable membrane is called:
A. स्कंदन (Coagulation)
B. पेप्टीकरण (Peptization)
C. अपोहन (Dialysis)
D. विद्युत परासरण (Electro-osmosis)
Ans. C. अपोहन (Dialysis)
Explanation: अपोहन (Dialysis) वह प्रक्रिया है जिसमें एक अर्धपारगम्य झिल्ली का उपयोग करके कोलाइडल विलयन में घुले हुए क्रिस्टलॉयड (ions/molecules) को अलग किया जाता है। / Dialysis is the method of purifying a colloidal solution by allowing the true solution impurities (crystalloids) to diffuse through a semi-permeable membrane.

Q76. रसायन विज्ञान (Chemistry): HCP और CCP (FCC) क्रिस्टल जालक में संकुलन क्षमता (Packing efficiency) कितनी होती है? / What is the packing efficiency in HCP and CCP (FCC) crystal lattices?
A. 52.4%
B. 68%
C. 74%
D. 32%
Ans. C. 74%
Explanation: षट्कोणीय निविड संकुलन (HCP) और घनीय निविड संकुलन (CCP/FCC) दोनों संरचनाओं में संकुलन क्षमता अधिकतम होती है, जो कि 74% है (बाकी 26% स्थान रिक्त होता है)। / Both Hexagonal Close Packing (HCP) and Cubic Close Packing (CCP/FCC) have the maximum packing efficiency of 74%, leaving 26% empty space or voids.

Q77. एक आदर्श विलयन (Ideal solution) के निर्माण के लिए एन्थैल्पी परिवर्तन ($\Delta H_{mix}$) का मान क्या होना चाहिए? / What should be the value of enthalpy change ($\Delta H_{mix}$) for the formation of an ideal solution?
A. धनात्मक ($> 0$) / Positive ($> 0$)
B. ऋणात्मक ($< 0$) / Negative ($< 0$)
C. शून्य ($= 0$) / Zero ($= 0$)
D. अनंत / Infinite
Ans. C. शून्य ($= 0$) / Zero ($= 0$)
Explanation: आदर्श विलयन वह है जो राउल्ट के नियम का पालन करता है। इसके निर्माण में न तो ऊष्मा अवशोषित होती है और न ही उत्सर्जित, अतः $\Delta H_{mix} = 0$ होता है। / For an ideal solution, the intermolecular forces between solute-solvent are the same as solute-solute and solvent-solvent, resulting in $\Delta H_{mix} = 0$ and $\Delta V_{mix} = 0$.

Q78. नेर्न्स्ट समीकरण (Nernst equation) में $298 \text{ K}$ (या $25^\circ C$) पर $\frac{2.303 RT}{F}$ का मान लगभग कितना होता है? / What is the approximate value of $\frac{2.303 RT}{F}$ at $298 \text{ K}$ (or $25^\circ C$) in the Nernst equation?
A. $0.0591 \text{ V}$
B. $0.025 \text{ V}$
C. $8.314 \text{ V}$
D. $96500 \text{ V}$
Ans. A. $0.0591 \text{ V}$
Explanation: स्थिरांकों $R = 8.314$, $T = 298 \text{ K}$ और $F = 96487 \text{ C}$ के मान रखने पर, पद $\frac{2.303 \times 8.314 \times 298}{96487}$ का मान $0.0591 \text{ V}$ आता है। / Substituting the standard values for gas constant $R$, temperature $T$, and Faraday constant $F$ yields approximately $0.0591 \text{ Volts}$ at room temperature.

Q79. किसी रासायनिक अभिक्रिया की अणुसंख्यता (Molecularity) के संदर्भ में निम्नलिखित में से क्या सत्य है? / Which of the following is true regarding the molecularity of a chemical reaction?
A. यह शून्य हो सकती है / It can be zero
B. यह भिन्नात्मक (fractional) हो सकती है / It can be fractional
C. यह कभी भी शून्य या भिन्नात्मक नहीं हो सकती / It can never be zero or fractional
D. यह प्रायोगिक रूप से निर्धारित होती है / It is determined experimentally
Ans. C. यह कभी भी शून्य या भिन्नात्मक नहीं हो सकती / It can never be zero or fractional
Explanation: अणुसंख्यता उन अणुओं की संख्या है जो अभिक्रिया में भाग लेने के लिए एक साथ टकराते हैं। अणु शून्य या आधे नहीं हो सकते, अतः यह हमेशा एक पूर्ण संख्या ($1, 2, 3...$) होती है। / Molecularity is a theoretical concept representing the number of reacting species colliding simultaneously. It must be a positive integer and cannot be zero or a fraction.

Q80. हार्डी-शुल्जे नियम (Hardy-Schulze rule) के अनुसार, किसी आयन की स्कंदन क्षमता (Coagulating power) मुख्य रूप से किस पर निर्भर करती है? / According to the Hardy-Schulze rule, the coagulating power of an ion primarily depends on:
A. आयन के आकार पर / Size of the ion
B. आयन की संयोजकता (आवेश) पर / Valency (charge) of the ion
C. आयन के द्रव्यमान पर / Mass of the ion
D. विलायक की प्रकृति पर / Nature of the solvent
Ans. B. आयन की संयोजकता (आवेश) पर / Valency (charge) of the ion
Explanation: हार्डी-शुल्जे नियम बताता है कि सक्रिय आयन पर आवेश जितना अधिक होगा (जैसे $Al^{3+} > Ba^{2+} > Na^+$), उसकी कोलाइड को स्कंदित (coagulate) करने की क्षमता उतनी ही अधिक होगी। / The rule states that the greater the valency of the flocculating ion added, the greater is its power to cause precipitation (coagulation) of a colloidal sol.

Q81. सल्फ्यूरिक अम्ल ($H_2SO_4$) के औद्योगिक निर्माण की 'संपर्क विधि' (Contact Process) में किस उत्प्रेरक का उपयोग किया जाता है? / Which catalyst is used in the 'Contact Process' for the industrial manufacture of Sulphuric acid ($H_2SO_4$)?
A. लोहे का चूर्ण ($Fe$) / Iron powder ($Fe$)
B. वैनेडियम पेंटॉक्साइड ($V_2O_5$) / Vanadium pentoxide ($V_2O_5$)
C. निकल ($Ni$) / Nickel ($Ni$)
D. मैंगनीज डाइऑक्साइड ($MnO_2$) / Manganese dioxide ($MnO_2$)
Ans. B. वैनेडियम पेंटॉक्साइड ($V_2O_5$) / Vanadium pentoxide ($V_2O_5$)
Explanation: संपर्क विधि में सल्फर डाइऑक्साइड ($SO_2$) को सल्फर ट्राइऑक्साइड ($SO_3$) में ऑक्सीकृत करने के लिए वैनेडियम पेंटॉक्साइड ($V_2O_5$) या प्लैटिनम युक्त एस्बेस्टस का उपयोग उत्प्रेरक के रूप में किया जाता है। / Vanadium pentoxide ($V_2O_5$) is the preferred catalyst in the Contact Process because it is less susceptible to poisoning compared to Platinum.

Q82. उत्कृष्ट गैसों (Noble gases) में से कौन सी गैस सबसे अधिक रासायनिक यौगिक बनाती है? / Which of the noble gases forms the maximum number of chemical compounds?
A. हीलियम ($He$) / Helium ($He$)
B. नियॉन ($Ne$) / Neon ($Ne$)
C. आर्गन ($Ar$) / Argon ($Ar$)
D. ज़ेनॉन ($Xe$) / Xenon ($Xe$)
Ans. D. ज़ेनॉन ($Xe$) / Xenon ($Xe$)
Explanation: ज़ेनॉन का आकार बड़ा और आयनन ऊर्जा (Ionization energy) अपेक्षाकृत कम होती है, जिसके कारण यह फ्लोरीन और ऑक्सीजन जैसे अधिक विद्युत्-ऋणात्मक तत्वों के साथ कई यौगिक (जैसे $XeF_2, XeO_3$) बनाता है। / Due to its larger atomic size and lower ionization enthalpy, Xenon readily forms a significant number of compounds, mostly with highly electronegative elements like Fluorine and Oxygen.

Q83. पोटैशियम परमैंगनेट ($KMnO_4$) में मैंगनीज (Mn) की ऑक्सीकरण अवस्था क्या है? / What is the oxidation state of Manganese (Mn) in Potassium permanganate ($KMnO_4$)?
A. $+2$
B. $+4$
C. $+6$
D. $+7$
Ans. D. $+7$
Explanation: K की ऑक्सीकरण अवस्था +1 और O की -2 होती है। यदि Mn की x मान लें, तो: $+1 + x + 4(-2) = 0 \implies x - 7 = 0 \implies x = +7$। / Setting up the equation for neutral $KMnO_4$: $(+1) + x + 4(-2) = 0$, which solves to $x = +7$. This is the highest oxidation state of Mn.

Q84. संकुल आयन $[Ni(CN)_4]^{2-}$ की ज्यामिति (Geometry) और संकरण (Hybridization) क्या है? / What is the geometry and hybridization of the complex ion $[Ni(CN)_4]^{2-}$?
A. चतुष्फलकीय, $sp^3$ / Tetrahedral, $sp^3$
B. वर्ग समतलीय, $dsp^2$ / Square planar, $dsp^2$
C. अष्टफलकीय, $sp^3d^2$ / Octahedral, $sp^3d^2$
D. त्रिकोणीय द्विपिरामिडीय, $dsp^3$ / Trigonal bipyramidal, $dsp^3$
Ans. B. वर्ग समतलीय, $dsp^2$ / Square planar, $dsp^2$
Explanation: सायनाइड ($CN^-$) एक प्रबल क्षेत्र लिगैंड (strong field ligand) है जो $Ni^{2+}$ के 3d इलेक्ट्रॉनों का युग्मन (pairing) कर देता है, जिससे एक 3d कक्षक खाली हो जाता है और $dsp^2$ संकरण होता है। इसकी ज्यामिति वर्ग समतलीय होती है। / $CN^-$ is a strong field ligand forcing pairing of electrons in $Ni^{2+}$ ($d^8$). This leaves one d-orbital empty, resulting in $dsp^2$ hybridization and a square planar geometry.

Q85. वुर्ट्ज़ अभिक्रिया (Wurtz reaction) का उपयोग मुख्य रूप से किन यौगिकों को बनाने के लिए किया जाता है? / Wurtz reaction is primarily used to prepare which type of compounds?
A. एल्केन / Alkanes
B. एल्कीन / Alkenes
C. एल्काइन / Alkynes
D. एल्किल हैलाइड / Alkyl halides
Ans. A. एल्केन / Alkanes
Explanation: वुर्ट्ज़ अभिक्रिया में एल्किल हैलाइड के दो अणु शुष्क ईथर में सोडियम (Na) धातु के साथ अभिक्रिया करके सममित उच्च एल्केन (symmetrical higher alkanes) बनाते हैं ($2RX + 2Na \rightarrow R-R + 2NaX$)। / Wurtz reaction involves treating alkyl halides with sodium in dry ether to produce higher alkanes containing an even number of carbon atoms.

Q86. फीनॉल को जिंक चूर्ण (Zinc dust) के साथ गर्म करने पर मुख्य उत्पाद क्या प्राप्त होता है? / What is the main product obtained when phenol is heated with Zinc dust?
A. साइक्लोहेक्सेन / Cyclohexane
B. बेंजीन / Benzene
C. बेंजल्डिहाइड / Benzaldehyde
D. सैलिसिलिक अम्ल / Salicylic acid
Ans. B. बेंजीन / Benzene
Explanation: फीनॉल को जब जिंक (Zn) चूर्ण के साथ गर्म किया जाता है, तो जिंक ऑक्सीजन को लेकर जिंक ऑक्साइड ($ZnO$) बना लेता है और फीनॉल अपचयित होकर बेंजीन ($C_6H_6$) में बदल जाता है। / Heating phenol with zinc dust results in the reduction of phenol to benzene, with the simultaneous formation of zinc oxide ($ZnO$).

Q87. रोज़ेनमुंड अपचयन (Rosenmund reduction) में किस उत्प्रेरक (Catalyst) का उपयोग एसिड क्लोराइड को एल्डिहाइड में बदलने के लिए किया जाता है? / Which catalyst is used in the Rosenmund reduction to convert acid chlorides into aldehydes?
A. $LiAlH_4$
B. $Zn-Hg / HCl$
C. $Pd / BaSO_4$
D. $Na / C_2H_5OH$
Ans. C. $Pd / BaSO_4$
Explanation: रोज़ेनमुंड अपचयन में पैलेडियम ($Pd$) उत्प्रेरक को बेरियम सल्फेट ($BaSO_4$) पर लेपित किया जाता है। $BaSO_4$ उत्प्रेरक विष (catalytic poison) का काम करता है ताकि एल्डिहाइड आगे ऐल्कोहॉल में अपचयित न हो जाए। / Rosenmund reduction uses Palladium supported on Barium sulfate. $BaSO_4$ poisons the Pd catalyst, preventing over-reduction of the aldehyde to an alcohol.

Q88. निम्नलिखित कार्बोक्सिलिक अम्लों में से सबसे प्रबल अम्ल (Strongest acid) कौन सा है? / Which of the following carboxylic acids is the strongest acid?
A. फॉर्मिक अम्ल ($HCOOH$) / Formic acid
B. एसिटिक अम्ल ($CH_3COOH$) / Acetic acid
C. प्रोपेनोइक अम्ल ($C_2H_5COOH$) / Propanoic acid
D. ब्यूटेनोइक अम्ल ($C_3H_7COOH$) / Butanoic acid
Ans. A. फॉर्मिक अम्ल ($HCOOH$) / Formic acid
Explanation: एल्किल समूह ($CH_3, C_2H_5$) इलेक्ट्रॉन दाता (+I प्रभाव) होते हैं जो कार्बोक्सिलेट आयन को अस्थिर करते हैं। फॉर्मिक अम्ल में कोई +I समूह नहीं है, इसलिए यह सबसे प्रबल अम्ल है। / Alkyl groups exhibit a +I (electron-donating) effect which destabilizes the conjugate base, decreasing acidic strength. Formic acid lacks such groups and is therefore the strongest.

Q89. हॉफमैन ब्रोमामाइड निम्नीकरण (Hofmann bromamide degradation) अभिक्रिया में एमाइड ($R-CONH_2$) से क्या प्राप्त होता है? / What is obtained from an amide ($R-CONH_2$) in the Hofmann bromamide degradation reaction?
A. समान कार्बन संख्या वाला एमीन / Amine with the same number of carbons
B. एक कार्बन कम वाला प्राथमिक एमीन / Primary amine with one less carbon atom
C. एक कार्बन अधिक वाला एमीन / Amine with one more carbon atom
D. द्वितीयक एमीन / Secondary amine
Ans. B. एक कार्बन कम वाला प्राथमिक एमीन / Primary amine with one less carbon atom
Explanation: इस अभिक्रिया में एमाइड को $Br_2$ और जलीय $NaOH$ के साथ गर्म किया जाता है, जिससे कार्बोनिल समूह ($>C=O$) हट जाता है और मूल एमाइड की तुलना में एक कार्बन कम वाला प्राथमिक एमीन ($R-NH_2$) बनता है। / The reaction involves the loss of the carbonyl carbon as a carbonate ion, yielding a primary amine with one carbon atom less than the parent amide.

Q90. विटामिन B12 (साइनोकोबालामिन) में कौन सा धातु आयन उपस्थित होता है? / Which metal ion is present in Vitamin B12 (Cyanocobalamin)?
A. लोहा ($Fe$) / Iron ($Fe$)
B. मैग्नीशियम ($Mg$) / Magnesium ($Mg$)
C. कोबाल्ट ($Co$) / Cobalt ($Co$)
D. जस्ता ($Zn$) / Zinc ($Zn$)
Ans. C. कोबाल्ट ($Co$) / Cobalt ($Co$)
Explanation: विटामिन B12 के नाम 'साइनोकोबालामिन' में ही कोबाल्ट छिपा है। यह एकमात्र विटामिन है जिसमें एक संक्रमण धातु आयन (कोबाल्ट) पाया जाता है। / The name cyanocobalamin itself suggests the presence of Cobalt. It is a coordination complex containing a cobalt ion at the center of a corrin ring.

Q91. टेफ्लॉन (Teflon) बहुलक (polymer) का एकलक (monomer) क्या है? / What is the monomer of the polymer Teflon?
A. क्लोरोएथीन / Chloroethene
B. टेट्राफ्लोरोएथीन / Tetrafluoroethene
C. विनाइल क्लोराइड / Vinyl chloride
D. स्टाइरीन / Styrene
Ans. B. टेट्राफ्लोरोएथीन / Tetrafluoroethene
Explanation: टेफ्लॉन का रासायनिक नाम पॉलीटेट्राफ्लोरोएथिलीन (PTFE) है। यह टेट्राफ्लोरोएथीन ($CF_2=CF_2$) के बहुलकीकरण (polymerization) से प्राप्त होता है। / Teflon is chemically Polytetrafluoroethylene (PTFE). It is synthesized by the addition polymerization of its monomer, tetrafluoroethene ($CF_2=CF_2$).

Q92. ज्वरनाशक (Antipyretic) औषधियाँ किस काम आती हैं? / What are Antipyretic drugs used for?
A. दर्द कम करने के लिए / To reduce pain
B. संक्रमण रोकने के लिए / To prevent infection
C. बुखार (शरीर का तापमान) कम करने के लिए / To lower body temperature (fever)
D. तनाव दूर करने के लिए / To relieve stress
Ans. C. बुखार (शरीर का तापमान) कम करने के लिए / To lower body temperature (fever)
Explanation: 'पायरेटिक' शब्द बुखार (तापमान) से जुड़ा है। जो दवाएं शरीर का बढ़ा हुआ तापमान (बुखार) कम करती हैं, उन्हें ज्वरनाशक (Antipyretics) कहते हैं, जैसे - पैरासिटामोल। / Antipyretics are substances that reduce fever by acting on the hypothalamus to override an increase in body temperature. Example: Paracetamol.

Q93. किसी परमाणु के $f$-उपकोश ($f$-subshell) में अधिकतम कितने इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं? / What is the maximum number of electrons that can be accommodated in the $f$-subshell of an atom?
A. 6
B. 10
C. 14
D. 18
Ans. C. 14
Explanation: $f$-उपकोश में कुल 7 कक्षक (orbitals) होते हैं। चूँकि प्रत्येक कक्षक में 2 इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं, इसलिए अधिकतम क्षमता $7 \times 2 = 14$ इलेक्ट्रॉनों की होती है। / An $f$-subshell has 7 degenerate orbitals. Following Pauli's exclusion principle, each can hold 2 electrons, giving a maximum capacity of 14 electrons.

Q94. आण्विक कक्षक सिद्धांत (Molecular Orbital Theory) के अनुसार $N_2$ अणु की आबंध कोटि (Bond order) कितनी होती है? / According to Molecular Orbital Theory, what is the bond order of the $N_2$ molecule?
A. 1
B. 2
C. 2.5
D. 3
Ans. D. 3
Explanation: $N_2$ अणु में आबंधी इलेक्ट्रॉनों (Bonding electrons, $N_b$) की संख्या 10 और विपरीत-आबंधी इलेक्ट्रॉनों (Anti-bonding electrons, $N_a$) की संख्या 4 होती है। आबंध कोटि = $(10 - 4)/2 = 6/2 = 3$। (अर्थात् N और N के बीच त्रिक बंध होता है)। / Bond order = $(N_b - N_a)/2 = (10 - 4)/2 = 3$. This indicates a stable triple bond between the two nitrogen atoms.

Q95. ऊष्मागतिकी का तृतीय नियम (Third law of thermodynamics) मुख्य रूप से किसके बारे में है? / The third law of thermodynamics is primarily concerned with:
A. ऊर्जा संरक्षण / Conservation of energy
B. পরম शून्य पर एन्ट्रॉपी / Entropy at absolute zero
C. ऊष्मा का कार्य में परिवर्तन / Conversion of heat into work
D. मुक्त ऊर्जा परिवर्तन / Free energy change
Ans. B. পরম शून्य पर एन्ट्रॉपी / Entropy at absolute zero
Explanation: ऊष्मागतिकी के तीसरे नियम के अनुसार, परम शून्य तापमान ($0 \text{ K}$) पर एक पूर्णतः क्रिस्टलीय पदार्थ की एन्ट्रॉपी (अव्यवस्था) शून्य होती है। / The third law states that the entropy of a perfect crystal approaches zero as the absolute temperature approaches zero Kelvin.

Q96. ब्रॉन्स्टेड-लॉरी सिद्धांत के अनुसार, अमोनिया ($NH_3$) का संयुग्मी अम्ल (Conjugate acid) क्या है? / According to the Brønsted-Lowry theory, what is the conjugate acid of ammonia ($NH_3$)?
A. $NH_2^-$
B. $NH_4^+$
C. $N^{3-}$
D. $HNO_3$
Ans. B. $NH_4^+$
Explanation: संयुग्मी अम्ल बनाने के लिए किसी क्षार में एक प्रोटॉन ($H^+$) जोड़ा जाता है। अतः $NH_3 + H^+ \rightarrow NH_4^+$ (अमोनियम आयन)। / A conjugate acid is formed by adding a proton ($H^+$) to a base. Adding $H^+$ to $NH_3$ yields the ammonium ion ($NH_4^+$).

Q97. पोटैशियम डाइक्रोमेट ($K_2Cr_2O_7$) में क्रोमियम (Cr) की ऑक्सीकरण अवस्था क्या है? / What is the oxidation state of Chromium (Cr) in Potassium dichromate ($K_2Cr_2O_7$)?
A. $+3$
B. $+4$
C. $+6$
D. $+7$
Ans. C. $+6$
Explanation: सूत्र में: $2(+1) + 2(x) + 7(-2) = 0 \implies 2 + 2x - 14 = 0 \implies 2x = 12 \implies x = +6$। / Setting up the oxidation state equation: $2(+1) \text{ for K} + 2(x) \text{ for Cr} + 7(-2) \text{ for O} = 0$, which simplifies to $2x = 12$, hence $x = +6$.

Q98. क्षार धातुओं (Alkali metals) में से कौन सा तत्त्व प्राकृतिक रूप से रेडियोधर्मी (Radioactive) है? / Which element among the alkali metals is naturally radioactive?
A. सीज़ियम ($Cs$) / Cesium ($Cs$)
B. रूबिडियम ($Rb$) / Rubidium ($Rb$)
C. लिथियम ($Li$) / Lithium ($Li$)
D. फ्रैंशियम ($Fr$) / Francium ($Fr$)
Ans. D. फ्रैंशियम ($Fr$) / Francium ($Fr$)
Explanation: समूह 1 (क्षार धातुओं) के सबसे नीचे स्थित तत्त्व फ्रैंशियम ($Fr$) है, जो अत्यधिक अस्थिर और प्राकृतिक रूप से रेडियोधर्मी है। / Francium is the heaviest and the lowest element in Group 1 (alkali metals) and it is highly radioactive with a very short half-life.

Q99. आवर्त सारणी में किस तत्त्व की इलेक्ट्रॉन लब्धि एन्थैल्पी (Electron gain enthalpy/Electron affinity) सबसे अधिक ऋणात्मक (उच्चतम) होती है? / Which element in the periodic table has the highest negative electron gain enthalpy (electron affinity)?
A. फ्लोरीन ($F$) / Fluorine
B. क्लोरीन ($Cl$) / Chlorine
C. ऑक्सीजन ($O$) / Oxygen
D. ब्रोमीन ($Br$) / Bromine
Ans. B. क्लोरीन ($Cl$) / Chlorine
Explanation: यद्यपि फ्लोरीन सबसे अधिक विद्युत्-ऋणात्मक है, लेकिन इसके बहुत छोटे आकार के कारण इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण होता है। इसलिए क्लोरीन ($Cl$) आसानी से इलेक्ट्रॉन ग्रहण करता है और इसकी इलेक्ट्रॉन लब्धि एन्थैल्पी सबसे अधिक होती है। / Despite Fluorine being the most electronegative, Chlorine has the highest electron affinity because F has a very small size causing inter-electronic repulsions for the incoming electron.

Q100. 18 ग्राम जल ($H_2O$) में जल के कितने मोल (moles) उपस्थित होते हैं? / How many moles of water are present in 18 grams of water ($H_2O$)?
A. 0.5 मोल / 0.5 mole
B. 1 मोल / 1 mole
C. 2 मोल / 2 moles
D. 18 मोल / 18 moles
Ans. B. 1 मोल / 1 mole
Explanation: जल ($H_2O$) का आण्विक द्रव्यमान (Molar mass) $= 2(1) + 16 = 18 \text{ g/mol}$ है। मोलों की संख्या = $\frac{\text{दिया गया द्रव्यमान}}{\text{आण्विक द्रव्यमान}} = \frac{18}{18} = 1$ मोल। / The molar mass of water ($H_2O$) is $18 \text{ g/mol}$. Number of moles = Given mass / Molar mass = $18\text{g} / 18\text{g/mol} = 1 \text{ mole}$.

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